Đến nội dung

Hình ảnh

$3^x - 2^y = z^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên: $3^x - 2^y = z^2$



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$ 
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình 
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm 
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$
$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí) 
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên) 
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$ 
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$ 
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$ 
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ ) 
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên  
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .

Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ 
Khi đó $z=2^{y-2}-1$ 
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)   
Ta xét $y=1+m$ 
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm  
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm. 
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : .... 
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình :P )
 



#3
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$ 
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình 
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm 
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$

$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí) 
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên) 
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$ 
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$ 
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$ 
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ ) 
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên  
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .

Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ 
Khi đó $z=2^{y-2}-1$ 
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)   
Ta xét $y=1+m$ 
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm  
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm. 
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : .... 
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình :P )
 

Xem lại mấy dòng tô đỏ 

Với lại cậu có cách khác để chứng minh dòng màu xanh cho phù hợp với kiến thức THCS không?



#4
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Xem lại mấy dòng tô đỏ 

Với lại cậu có cách khác để chứng minh dòng màu xanh cho phù hợp với kiến thức THCS không?

 Chỗ màu đỏ chắc bạn đó ghi nhầm

 Chỗ màu xanh thì như sau : Ta có $-2z=2^m-2^{y-m}=-2^m(2^{y-2m}-1)$ nên $-2^m\mid -2z$ hay $2^{m-1}\mid z$ vô lý do $z$ lẻ và $m\geq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 06-05-2016 - 17:09


#5
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$ 
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình 
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm 
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$
$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí) 
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên) 
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$ 
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$ 
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$ 
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ ) 
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên  
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .

Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ 
Khi đó $z=2^{y-2}-1$ 
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)   
Ta xét $y=1+m$ 
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm  
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm. 
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : .... 
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình :P )
 

Sửa lại đoạn đầu đi anh , :D sao mà $z^2$ đồng dư với 2 mod 3 được 



#6
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Sửa lại đoạn đầu đi anh , :D sao mà $z^2$ đồng dư với 2 mod 3 được 

Ý mình là nếu $x \ge 1$ thì $z^2-2$ chia hết cho $3$ (đều này vô lí) 
Sau đó mình chỉ ra nghiệm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh