cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
#1
Đã gửi 06-05-2016 - 14:36
#2
Đã gửi 06-05-2016 - 16:53
cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
Ta có: $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{8cb}{a^{2}}}}$
Đặt$ \frac{bc}{a^{2}}=x^{3};\frac{ca}{b^{2}}=y^{3};\frac{ab}{c^{2}}=z^{3}$ thì xyz=1
$\Rightarrow P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x^{3}}}$ Biến đổi và sử dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{1}{\sqrt{1+8x^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+2x)(1+4x^{2}-2x)}}\geqslant \frac{1}{\frac{1}{2}(2+4x^{2})}=\frac{1}{1+2x^{2}}=\frac{(xyz)^{2}}{(xyz)^{2}+2x^{2}}=\frac{(yz)^{2}}{(yz)^{2}+2}$( do xyz=1)
Tương tự suy ra: $P=\frac{(yz)^{2}}{(yz)^{2}+2}+\frac{(xz)^{2}}{(xz)^{2}+2}+\frac{(yx)^{2}}{(yx)^{2}+2}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6}$
Lại có: $(xy+yz+zx)^{2}=(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+2xyz(x+y+z)\geqslant (yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+2.3\sqrt[3]{xyz}=(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6\Rightarrow \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6}\geq 1$( do xyz=1)
Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- tpdtthltvp, PlanBbyFESN, 01634908884 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 07-05-2016 - 13:04
#4
Đã gửi 07-05-2016 - 13:30
cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
Bạn tham khảo thêm 2 cách ở đây
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh