Đến nội dung

Hình ảnh

P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
beyondgodlike

beyondgodlike

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$



#2
81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Ta có: $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{8cb}{a^{2}}}}$

Đặt$ \frac{bc}{a^{2}}=x^{3};\frac{ca}{b^{2}}=y^{3};\frac{ab}{c^{2}}=z^{3}$ thì xyz=1

$\Rightarrow P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x^{3}}}$ Biến đổi và sử dụng BĐT Cauchy ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1+8x^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+2x)(1+4x^{2}-2x)}}\geqslant \frac{1}{\frac{1}{2}(2+4x^{2})}=\frac{1}{1+2x^{2}}=\frac{(xyz)^{2}}{(xyz)^{2}+2x^{2}}=\frac{(yz)^{2}}{(yz)^{2}+2}$( do xyz=1)

Tương tự suy ra: $P=\frac{(yz)^{2}}{(yz)^{2}+2}+\frac{(xz)^{2}}{(xz)^{2}+2}+\frac{(yx)^{2}}{(yx)^{2}+2}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6}$

Lại có: $(xy+yz+zx)^{2}=(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+2xyz(x+y+z)\geqslant (yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+2.3\sqrt[3]{xyz}=(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6\Rightarrow \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(yz)^{2}+(yx)^{2}+(xz)^{2}+6}\geq 1$( do xyz=1)

Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c



#3
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

.....

Hình gửi kèm

  • 1234.JPG
  • 1234.JPG

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#4
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

cho a,b,c>0 chứng minh P= $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Bạn tham khảo thêm 2 cách ở đây


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh