Giả sử $6a\mid (2a + 3)^{n} + 1$. Dễ thấy rằng $(2a + 3)^{n} + 1 \equiv (2a)^{n} + 3^{n} + 1\pmod{6a}$.
i) Xét theo modulo $a$ cho ta $a\mid 3^{n} + 1$, hay $3\nmid a$
ii) Nếu $a\equiv 2\pmod{3}$ thì $(2a + 3)^{n} \equiv 2\pmod{3}$, vô lí, do đó
iii) Khi đó xét theo modulo $3$: $(2a)^{n} \equiv (2a)^{n - 1}(2a) \equiv 2a\pmod{3}$. Mặt khác, $(2a)^{n} \equiv 2a$ hoặc $4a$ modulo $6a$.
Từ đó ta có $3^{n} + 1 \equiv 4a\pmod{6a}$ hay $\dfrac{\dfrac{3^{n} + 1}{2a} - 2}{3}$ là số nguyên. Từ đây dễ thấy có 2 trường hợp xảy ra.
a) $v_{2}(a) = 1$, Mặt khác, $a \equiv 1\pmod{3}$, nên ngoài ước nguyên tố $2\equiv 2\pmod{3}$ thì còn có 1 ước nguyên tố khác của $a$ là $p\equiv 2\pmod{3}$.
Ta có $3^{n} + 1 \equiv 0\pmod{a} \implies 3^{n + 1} \equiv -3\pmod{p} \implies \left(\frac{-3}{p}\right) = 1$. Điều này còn có nghĩa là $p \equiv 1\pmod{3}$. Vô lí.
b) $v_{2}(a) = 0$. Từ đó suy ra $a\mid \frac{3^{n} + 1}{4}$
Chiều đảo
Do $a$ lẻ và $3\nmid a$, gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a$ thì $p\mid 3^{n} + 1 \implies \left(\frac{-3}{p}\right) = 1 \implies p \equiv 1\pmod{3}$. Do đó $a$ chỉ toàn chứa ước nguyên tố dạng $3k + 1$ nên $a \equiv 1\pmod{3}$
Xét theo modulo $3$ thì $3^{n} + 1 \equiv 4a\pmod{3}$
Xét theo modulo $2a$ thì $3^{n} + 1 \equiv 0\pmod{2a}$
Kết luận $6a\mid 3^{n} + 1 + 2a \iff 6a\mid (2a + 3)^{n} + 1$