Chủ đề này có 1 trả lời

[dogamer01]

Cho $a \neq 0, b \neq 0$ thỏa mãn $(a + b)ab = a^{2} - ab + b^{2}$. Tìm GTLN của biểu thức $A = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogamer01: 07-05-2016 - 06:24

[Minhnguyenthe333]

Cho $a \neq 0, b \neq 0$ thỏa mãn $(a + b)ab = a^{2} - ab + b^{2}$. Tìm GTLN của biểu thức $A = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}}$

Đặt $x=a+b$ và $y=ab=>x^2-3y=xy<=>y=\frac{x^2}{x+3}$ $(1)$
Từ giả thiết suy ra: $ a^{2} - ab + b^2=ab(a+b)\leqslant a^3+b^3$
$<=>a^2-ab+b^2\leqslant (a+b)(a^2-ab+b^2)<=>x=a+b\geqslant 1$
Ta có:
$A=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2})$

$<=>A=\frac{x}{y}(\frac{x^2-2y}{y^2}-\frac{1}{y})$

$<=>A=\frac{x(x^2-3y)}{y^3}$
Áp dụng $(1)$ và giả thiết suy ra

$A=\frac{x^2}{y^2}=\frac{(x+3)^2}{x^2}=(1+\frac{3}{x})^2\leqslant (1+3)^2=16$

Vậy $A_{max}=16$ khi $x=1<=>a=b=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-05-2016 - 21:21