Chủ đề này có 2 trả lời

[ngocminhxd]

cho tam giác ABC trọng tâm G. Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tại M,N. C/m $\frac{4}{9}\leq \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}< \frac{1}{2}$

tớ giải được vế trước r còn <1/2 nữa chưa ra

cơ mà nhớ áp dụng $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$ để c/m

[vkhoa]

cho tam giác ABC trọng tâm G. Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tại M,N. C/m $\frac{4}{9}\leq \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}< \frac{1}{2}$

tớ giải được vế trước r còn <1/2 nữa chưa ra

cơ mà nhớ áp dụng $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$ để c/m

Giả định bạn đã chứng minh được $\frac{AB}{AM} +\frac{AC}{AN} =3$ (1)
gọi E, F lần lượt là trung điểm AC, AB
M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC$\Rightarrow$ N thuộc đoạn EC
$\Rightarrow$ M thuộc đoạn FB
$\Rightarrow \frac{MB}{MA} <1$
từ (1)$\Rightarrow\frac{AB}{AM} -1 =2 -2\frac{AE}{AN}$
$\Leftrightarrow\frac{AB -AM}{AM} =2\frac{AN -AE}{AN}$
$\Leftrightarrow\frac{BM}{AM} =\frac{2 .EN}{AN} =k <1$ (2)
$\Rightarrow\frac{2 .EN}{AN} =\frac{k .EN}{EN} =\frac{2 .EN -k .EN}{AN -EN}>\frac{2 .EN -EN}{AE} =\frac{EN}{EA}$ (3)
từ (2, 3)$\Rightarrow\frac{MB}{MA} >\frac{EN}{EA}$ (4)
lần lượt hạ AD, BK, NH vuông góc ME tại D, K, H
(4)$\Leftrightarrow\frac{BK}{AD} >\frac{NH}{AD}$
$\Leftrightarrow BK >NH$
$\Leftrightarrow \frac12 .BK .ME >\frac12 .NH .ME$
$\Leftrightarrow S_{BME} >S_{NME}$
$\Leftrightarrow S_{BME} +S_{AME} >S_{NME} +S_{AME}$
$\Leftrightarrow S_{ABE} >S_{AMN}$
$\Leftrightarrow S_{AMN} <\frac12 S_{ABC}\Rightarrow$ (đpcm)

Hình gửi kèm

• 

[nntien]

cho tam giác ABC trọng tâm G. Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tại M,N. C/m $\frac{4}{9}\leq \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}< \frac{1}{2}$

tớ giải được vế trước r còn <1/2 nữa chưa ra

cơ mà nhớ áp dụng $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$ để c/m

Bài này mình đã giải rồi mà!

Cho $a=\frac{AB}{AM}$, $b=\frac{AC}{AN}$. Ta có $a+b=3$ (ngocminhxd)

Ta dễ thấy $a>1, b>1$ => $ 0< (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1$ => $ab>2$ <=> $\frac{AB}{AM}\frac{AC}{AN}>2$ <=> $\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}>2$ => đpcm