Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$
Cho a,b,c>0 và a+b+c=4. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$
#1
Đã gửi 16-05-2016 - 19:09
Lấy bất biến ứng vạn biến
#2
Đã gửi 16-05-2016 - 19:37
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$
Ta có: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$
$\rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$
Mà ta có: $4=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \rightarrow abc \leq \dfrac{64}{27}<2\sqrt{2} \rightarrow abc< 2\sqrt{2}$
Ta có: $a^3b^3c^3-8abc=abc(a^2b^2c^2-8)=abc(abc-2\sqrt{2})(abc+2\sqrt{2})<0$
$\rightarrow a^3b^3c^3<8abc \leq (a+b)(b+c)(c+a) \rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) >a^3b^3c^3$ (đpcm)
Dấu "=" không xảy ra do với mọi $a,b,c$ t/m thì $VT>VP$
- ngothithuynhan100620 và buingoctu thích
Don't care
#3
Đã gửi 16-05-2016 - 21:02
$16(a+b)=(a+b)(a+b+c)^2 \ge (a+b).4(a+b)c \ge 16abc$, nên $a+b \ge abc$
Tương tự $b+c \ge abc; c+a \ge abc$
Nhân lại ta được điều phải chứng minh, dấu "=" không xảy ra.
- tpdtthltvp, leminhnghiatt, NTA1907 và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_03
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh