Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R^{*}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện:
$$\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}=1$$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$
Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R^{*}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện:
$$\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}=1$$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$
Đầu tiên thế $x=0$,$x=-1$ thì ta có $f(0)=f(-1)=2$. Giả sử hàm không phải hàm hằng trên đoạn $[-1;0]$, nếu tồn tại 1 số $a$ thoả mãn mãn $-1<a<0$ sao cho tất cả mọi số $b$ nằm trong khoảng $(a;0)$ đều có $f(b)$ khác 2 thì theo tính liên tục của hàm số thì với mọi $b$ nằm trong khoảng đó thì $f(b)$ hoặc lớn hơn $2$, hoặc nhỏ hơn $2$.Nếu $f(b)>2$, xét $x\in (a;0)$, khi chọn $x$ tiến đủ gần đến 0 sao cho $x^2+2x$ nằm trong khoảng $(a;0)$ thì lúc đó $f(x)>2$,$f(x^2+x)>2$ nên $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}<1$(vô lí).Nếu $f(b)<2$ thì lúc đó theo tính liên tục của hàm số thì tồn tại $c\in (a;0)$ sao cho $c<0$ và với mọi $b\in (c;0)$ thì $2>f(b)>0$.
Xét $x\in (c;0)$, chọn $x$ tiến đủ gần về $0$ sao cho $x^2+2x\in (c;0)$, lúc đó $0<f(x)<2$,$0<f(x^2+2x)<2$, vì vậy $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}>1$(vô lí). Vậy không tồn tại số $a$ thoả mãn. Vì vậy tồn tại $-1<d<0$ sao cho với mọi $b\in (d;0)$ thì $f(b)=2$. Vì $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}=1$ nên nếu với mọi $b\in (d;0)$ thì $f(b^2+2b)=2$ .Vậy $f(x)=2$ với mọi $x\in (d^2+2d;0)$ nếu $f(x)=2$ với mọi $x\in (d;0)$. Lặp lại quá trình đó vô hạn lần thì ta sẽ chứng minh được $f(b)=2$ với mọi $b\in (-1;0)$. Xét$x>0$, ta có thể chứng minh tương tự thì với mọi $x>0$ thì $f(x)=2$. Vậy $f(x)=2$ với $x\geq -1$. Lại có $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x^{2}+2x)}=1$ và $x^2+2x\geq -1$ với mọi $x$ nên $\frac{1}{f(x^{2}+2x)}=2$ với mọi $x$. Vậy $f(x)=2$ là hàm cần tìm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 31-05-2016 - 22:27
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\forall n\in \mathbb{N}$Bắt đầu bởi ineX, 24-11-2016 lim, dãy số, inex, 2016 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
So sánh A và BBắt đầu bởi phihungtf, 13-11-2016 2016, 2017, luỹ thừa |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm số hạng tổng quát của dãyBắt đầu bởi ineX, 01-11-2016 dãy số, shtq, inex, 2016, btvn |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$m|3.2^n+n$Bắt đầu bởi IHateMath, 21-10-2016 ninh bình, 2016 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu ánh xạ $f$ xác định trên $M$ thỏa mãn?Bắt đầu bởi ineX, 21-10-2016 tổ hợp, inex, song ánh, 2016 |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh