Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $x,y\in \mathbb{Z}^{+}$ để $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ là số nguyên tố.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $$\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$ là một số nguyên tố.


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $$\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$ là một số nguyên tố.

Giải như sau: 

 

Đặt $x^2y^2=p(x^2+y^2)$ với $p\in\mathbb{P}$. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$.

 

Phương trình tương đương với $(x^2-p)(y^2-p)=p^2$. Giờ chỉ cần xét TH

 

TH1: $x^2-p=y^2-p=p\rightarrow x^2=y^2=2p$, hiển nhiên $p=2$ kéo theo $x=y=2$

 

TH2: $x^2-p=p^2, y^2-p=1$. Thấy $x^2=p(p+1)$ với $(p,p+1)=1$ nên $p$ và $p+1$ phải là số chính phương ( vô lý)

 

Vậy $(x,y)=(2,2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 21-05-2016 - 16:47


#3
doremon01

doremon01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Một cách giải khác cho bài toán này:

Giả sử $x\geq y$ , đặt $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=p$ nguyên tố

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}=px^{2}+py^{2}\Leftrightarrow x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}$

Nếu x= 1 thì biếu thức đã cho bằng $\frac{y^{2}}{y^{2}+1}<1$ không có giá trị nguyên

Nếu $x>y$ thì $py^{2}$ không chia hết cho $x^{2}$ do $p$ nguyên tố, $x> 1$,$y^{2}<x^{2}$

Suy ra $x=y\Leftrightarrow p=\frac{x^{2}}{2}$ Vì p là số nguyên tố nên $x^{2}$ chẵn$\Leftrightarrow x^{2}\vdots 4\Rightarrow p\vdots 2\Rightarrow p=2\Leftrightarrow x=y=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 21-05-2016 - 18:01


#4
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Dựa vào lời giải thú vị của bạn doremon01 mình nghĩ lời giải đó hoàn toàn đúng với bài toán tổng quát: :)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\frac{x^{n}y^{n}}{x^{n}+y^{n}}$ là một số nguyên tố. ($n$ nguyên dương)

Thêm nữa mong mọi người hãy góp lời giải ở bài toán sau:

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ là một số nguyên tố.

($n$ nguyên dương)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-05-2016 - 20:59


#5
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Một cách giải khác cho bài toán này:

Giả sử $x\geq y$ , đặt $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=p$ nguyên tố

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}=px^{2}+py^{2}\Leftrightarrow x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}$

Nếu x= 1 thì biếu thức đã cho bằng $\frac{y^{2}}{y^{2}+1}<1$ không có giá trị nguyên

Nếu $x>y$ thì $py^{2}$ không chia hết cho $x^{2}$ do $p$ nguyên tố, $x> 1$,$y^{2}<x^{2}$

Suy ra $x=y\Leftrightarrow p=\frac{x^{2}}{2}$ Vì p là số nguyên tố nên $x^{2}$ chẵn$\Leftrightarrow x^{2}\vdots 4\Rightarrow p\vdots 2\Rightarrow p=2\Leftrightarrow x=y=2$

Đoạn này bạn giải thích giúp mình được không???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 24-05-2016 - 18:05

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#6
doremon01

doremon01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đoạn này bạn giải thích giúp mình được không???

$x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}\rightarrow py^{2}\vdots x^{2}$

Nếu p=y thì ta có $ p^{3}\vdots x^{2}$ Điều này không xảy ra vì p nguyên tố và x khác 1

$p\epsilon P, x>1\rightarrow p$ không chia hết cho $x$

$y<x\rightarrow y^{2} $ không chia hết cho $ x^{2} $

Suy ra p khác y$\rightarrow (p,y)=1$ suy ra $py^{2}$ không chia hết cho $x$

 

Cám ơn bạn 

O0NgocDuy0O

đã góp ý cho lời giải còn thiếu sót của mình

 

Mình đang hóng lời giải của bài toán mở rộng do bạn HappyLife đưa ra Tìm các số nguyên dương 

x,y,z sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$  là một số nguyên tố. (Mình tìm ra bộ nghiệm là (2;7;13) và các hoán vị , có thể chứng minh được trong ba số có một số chia hết cho p, bây giờ mình cần mọi người kiểm tra/ chứng minh (x,y,z)=1 hoặc tìm ra những hướng giải khác dựa vào bộ nghiệm trên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 25-05-2016 - 02:53


#7
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

$x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}\rightarrow py^{2}\vdots x^{2}$

Nếu p=y thì ta có $ p^{3}\vdots x^{2}$ Điều này không xảy ra vì p nguyên tố và x khác 1

$p\epsilon P, x>1\rightarrow p$ không chia hết cho $x$

$y<x\rightarrow y^{2} $ không chia hết cho $ x^{2} $

Suy ra p khác y$\rightarrow (p,y)=1$ suy ra $py^{2}$ không chia hết cho $x$

Đoạn này mình thấy không ổn vì: $5^{3}\vdots 5^{2}$ mà bạn???


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh