Trong mặt phẳng Oxy cho $\Delta ABC$ vuông tại A. D là chân đường phân giác trong góc A. Các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}+4x-2y-4=0$ ngoại tiếp tam giác DMN. GỌi H là giao điểm của BN & CM. Đường thẳng AH: 3x-y+10=0. Tìm tọa độ A,B,C biết A có hoành độ nguyên.
$M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB, AC$ nên $\widehat{DMA} = 90^o$ và $\widehat{DNA} = 90^o$.
Xét tứ giác $DMNA$, $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=180^o$ nên $DMNA$ là tứ giác nội tiếp, lại có $(C)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ nên $A \in (C)$
$A \in (C)$, mà $A \in AH$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và $3x-y+10=0$
Giải hệ trên, kết hợp điều kiện hoành độ A nguyên, ta có $A(-2;4)$
AH cắt BC tại E
áp dụng định lý Ceva cho 3 đường đồng quy AE, BN, CM, ta có
$\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} .\frac{EC}{EB} =1$
$\Leftrightarrow\frac{EB}{EC} =\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} =\frac{MB}{MD} .\frac{ND}{NC}$
$=(\frac{AB}{AC})^2$ (1)
hạ EK vuông góc BC tại K
có $\triangle BKA\sim\triangle AKC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{KB}{KA} =\frac{KA}{KC} =\frac{AB}{CA}$
$\Rightarrow\frac{KB}{KC} =\frac{KB}{KA} .\frac{KA}{KC} =(\frac{AB}{AC})^2$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow$ E trùng K
$\Rightarrow BC\perp AH$
A=(-2, 4)
Gọi I là tâm ngoại tiếp DMN
I =(-2, 1)
$\overrightarrow{IA} =(0, 3)$
$\Rightarrow\overrightarrow{IM} =(-3, 0)$ hoặc $(3, 0)$
$\Rightarrow M =(-5, 1)$ hoặc $(1, 1)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM} =(-3, -3)$ hoặc $(3, -3)$
pt BC : (x +2) +3(y +2) =0
$\Leftrightarrow$ x +3y +8 =0
B thuộc AM
$\Rightarrow B =(-2 -3t, 4 -3t)$ hoặc $(-2 +3t, 4 -3t)$
thế tọa độ B vào pt BC$\Rightarrow t=\frac32$ hoặc $t =3$
$\Rightarrow$ tọa độ B, C là $(-\frac{13}2, -\frac12)$ và $(7, -5)$