Chủ đề này có 5 trả lời

[macqueen]

Trong mặt phẳng Oxy cho $\Delta ABC$ vuông tại A. D là chân đường phân giác trong góc A. Các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}+4x-2y-4=0$ ngoại tiếp tam giác DMN. GỌi H là giao điểm của BN & CM. Đường thẳng AH: 3x-y+10=0. Tìm tọa độ A,B,C biết A có hoành độ nguyên.

 

[bvd]

$M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB, AC$ nên $\widehat{DMA} = 90^o$ và $\widehat{DNA} = 90^o$.

Xét tứ giác $DMNA$, $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=180^o$ nên $DMNA$ là tứ giác nội tiếp, lại có $(C)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ nên $A \in (C)$

$A \in (C)$, mà $A \in AH$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và $3x-y+10=0$

Giải hệ trên, kết hợp điều kiện hoành độ A nguyên, ta có $A(-2;4)$

[macqueen]

$M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB, AC$ nên $\widehat{DMA} = 90^o$ và $\widehat{DNA} = 90^o$.

Xét tứ giác $DMNA$, $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=180^o$ nên $DMNA$ là tứ giác nội tiếp, lại có $(C)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ nên $A \in (C)$

$A \in (C)$, mà $A \in AH$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và $3x-y+10=0$

Giải hệ trên, kết hợp điều kiện hoành độ A nguyên, ta có $A(-2;4)$

Mình cũng tìm ra A rồi nhưng ko giải ra được điểm B,C

[vkhoa]

Trong mặt phẳng Oxy cho $\Delta ABC$ vuông tại A. D là chân đường phân giác trong góc A. Các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}+4x-2y-4=0$ ngoại tiếp tam giác DMN. GỌi H là giao điểm của BN & CM. Đường thẳng AH: 3x-y+10=0. Tìm tọa độ A,B,C biết A có hoành độ nguyên.

 

 

$M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB, AC$ nên $\widehat{DMA} = 90^o$ và $\widehat{DNA} = 90^o$.

Xét tứ giác $DMNA$, $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=180^o$ nên $DMNA$ là tứ giác nội tiếp, lại có $(C)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ nên $A \in (C)$

$A \in (C)$, mà $A \in AH$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và $3x-y+10=0$

Giải hệ trên, kết hợp điều kiện hoành độ A nguyên, ta có $A(-2;4)$

 

 

AH cắt BC tại E
áp dụng định lý Ceva cho 3 đường đồng quy AE, BN, CM, ta có
$\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} .\frac{EC}{EB} =1$
$\Leftrightarrow\frac{EB}{EC} =\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} =\frac{MB}{MD} .\frac{ND}{NC}$
$=(\frac{AB}{AC})^2$ (1)
hạ EK vuông góc BC tại K
có $\triangle BKA\sim\triangle AKC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{KB}{KA} =\frac{KA}{KC} =\frac{AB}{CA}$
$\Rightarrow\frac{KB}{KC} =\frac{KB}{KA} .\frac{KA}{KC} =(\frac{AB}{AC})^2$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow$ E trùng K
$\Rightarrow BC\perp AH$

A=(-2, 4)
Gọi I là tâm ngoại tiếp DMN
I =(-2, 1)
$\overrightarrow{IA} =(0, 3)$
$\Rightarrow\overrightarrow{IM} =(-3, 0)$ hoặc $(3, 0)$
$\Rightarrow M =(-5, 1)$ hoặc $(1, 1)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM} =(-3, -3)$ hoặc $(3, -3)$
pt BC : (x +2) +3(y +2) =0
$\Leftrightarrow$ x +3y +8 =0
B thuộc AM
$\Rightarrow B =(-2 -3t, 4 -3t)$ hoặc $(-2 +3t, 4 -3t)$
thế tọa độ B vào pt BC$\Rightarrow t=\frac32$ hoặc $t =3$
$\Rightarrow$ tọa độ B, C là $(-\frac{13}2, -\frac12)$ và $(7, -5)$

Hình gửi kèm

• 

[macqueen]

AH cắt BC tại E
áp dụng định lý Ceva cho 3 đường đồng quy AE, BN, CM, ta có
$\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} .\frac{EC}{EB} =1$
$\Leftrightarrow\frac{EB}{EC} =\frac{MB}{MA} .\frac{NA}{NC} =\frac{MB}{MD} .\frac{ND}{NC}$
$=(\frac{AB}{AC})^2$ (1)
hạ EK vuông góc BC tại K
có $\triangle BKA\sim\triangle AKC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{KB}{KA} =\frac{KA}{KC} =\frac{AB}{CA}$
$\Rightarrow\frac{KB}{KC} =\frac{KB}{KA} .\frac{KA}{KC} =(\frac{AB}{AC})^2$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow$ E trùng K
$\Rightarrow BC\perp AH$

A=(-2, 4)
Gọi I là tâm ngoại tiếp DMN
I =(-2, 1)
$\overrightarrow{IA} =(0, 3)$
$\Rightarrow\overrightarrow{IM} =(-3, 0)$ hoặc $(3, 0)$
$\Rightarrow M =(-5, 1)$ hoặc $(1, 1)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM} =(-3, -3)$ hoặc $(3, -3)$
pt BC : (x +2) +3(y +2) =0
$\Leftrightarrow$ x +3y +8 =0
B thuộc AM
$\Rightarrow B =(-2 -3t, 4 -3t)$ hoặc $(-2 +3t, 4 -3t)$
thế tọa độ B vào pt BC$\Rightarrow t=\frac32$ hoặc $t =3$
$\Rightarrow$ tọa độ B, C là $(-\frac{13}2, -\frac12)$ và $(7, -5)$

Hệ thức Ceva có được học trong THPT ko? 

Mình thấy điều đặc biệt là AH đi qua trung điểm DM liệu có khai thác được yếu tố này? Mình nghĩ rất lâu mà vẫn chưa ra. Còn hệ thức trên là lần đầu mình nhìn thấy đó

[bvd]

Hệ thức Ceva có được học trong THPT ko? 

Mình thấy điều đặc biệt là AH đi qua trung điểm DM liệu có khai thác được yếu tố này? Mình nghĩ rất lâu mà vẫn chưa ra. Còn hệ thức trên là lần đầu mình nhìn thấy đó

 

Hệ thức Ceva có trong sách bài tập nên được phép sử dụng, kể cả khi thi Đại học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvd: 24-05-2016 - 16:51