Chủ đề này có 9 trả lời

[Master Kaiser]

Cho $x,y,z$ là ba số khác $0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$ và $x^2=yz $.

Chứng minh rằng $x^{2}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 22-05-2016 - 20:54

[Element hero Neos]

Cho x,y,z là ba số khác 0 thoả mãn x+y+z=xyz và x²=yz .

Chứng minh rằng $x^{2}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có

$xyz=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

Suy ra

$xyz\geq\sqrt{27}$

Mặt khác, lại có

$x^3=xyz$

Do đó

$x^3\geq\sqrt{27}$

Suy ra

$x^2=\sqrt[3]{(x^3)^2}\geq\sqrt[3]{(\sqrt{27})^2}=3$

Vậy ta có đpcm.

[lovelyDevil]

Ta có:$yz=x^2,y+z=x^3-x$

=> y,z là nghiệm pt:$X^2-(x^3-x)X+x^2=0.$

$\Delta \geq 0 <=> đpcm$

[Car]

Áp dụng AM-GM ta có

$xyz=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

Suy ra

$xyz\geq\sqrt{27}$

Mặt khác, lại có

$x^3=xyz$

Do đó

$x^3\geq\sqrt{27}$

Suy ra

$x^2=\sqrt[3]{(x^3)^2}\geq\sqrt[3]{(\sqrt{27})^2}=3$

Vậy ta có đpcm.

Ở dòng chữ màu đỏ .Cho mình hỏi sao bạn biến đổi được thành căn 27 vậy ? Cảm ơn

[Master Kaiser]

Áp dụng AM-GM ta có

$xyz=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

Suy ra

$xyz\geq\sqrt{27}$

Mặt khác, lại có

$x^3=xyz$

Do đó

$x^3\geq\sqrt{27}$

Suy ra

$x^2=\sqrt[3]{(x^3)^2}\geq\sqrt[3]{(\sqrt{27})^2}=3$

Vậy ta có đpcm.

Bạn ơi BĐT AM-GM chỉ áp dụng cho số không âm thôi chứ ?

[Master Kaiser]

Ta có:$yz=x^2,y+z=x^3-x$

=> y,z là nghiệm pt:$X^2-(x^3-x)X+x^2=0.$

$\Delta \geq 0 <=> đpcm$

Tại sao suy ra $\Delta \geq 0$ thì lại có thể kết luận luôn hả bạn ?

[lovelyDevil]

Tại sao suy ra $\Delta \geq 0$ thì lại có thể kết luận luôn hả bạn ?

chỉ là giải bất phương trình ẩn x thôi mak, mình nghĩ điều này ai cũng có thể làm dc

[Master Kaiser]

chỉ là giải bất phương trình ẩn x thôi mak, mình nghĩ điều này ai cũng có thể làm dc

Nếu mà $\Delta \geq 0$ thì đâu có thể kết luận $x^{2}\geq 3$ nhỉ :3

[lenhatsinh3]

Nếu mà $\Delta \geq 0$ thì đâu có thể kết luận $x^{2}\geq 3$ nhỉ :3

Anh lovelyDevil là đúng đó bạn

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow x^{6}-2x^{4}-3x^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}(x^{4}-2x^{2}-3)\geq 0\Leftrightarrow x^{4}-2x^{2}-3\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\geq 3$

[Master Kaiser]

Anh lovelyDevil là đúng đó bạn

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow x^{6}-2x^{4}-3x^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}(x^{4}-2x^{2}-3)\geq 0\Leftrightarrow x^{4}-2x^{2}-3\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\geq 3$

À ừ mình quên mất ... cứ tưởng là từ phương trình suy ra $\Delta \geq 0$ xong suy ra $x^{2}\geq 3$ ...

Cảm ơn m.n ^^