Chủ đề này có 3 trả lời

[tritanngo99]

Cho $a,b,c\ge 0$ và thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{-3}{\sqrt{18}}\le (a-b)(b-c)(c-a)\le \frac{3}{\sqrt{18}}$

[Baoriven]

Kí hiệu: F(a;b;c)=(a-b)(b-c)(c-a)

* Nếu 2 trong 3 số bằng nhau thì $F(a;b;c)=0<\frac{\sqrt{3}}{18}$

* nếu a,b,c đôi một khác nhau thì giả sử a=max{a;b;c}

KHi đó nếu b>c thì $F(a;b;c)<0<\frac{\sqrt{3}}{18}$ do vậy xét a>c>b

Đặt x=a+b=>c=1-x

Ta có; $F(a;b;c)=(a-b)(c-b)(a-c)\leq (a+b)c(a+b-c)=x(1-x)(2x-1)=h(x)$

Xét $h(x)=x(1-x)(2x-1),\frac{1}{2}< x\leq 1,h'(x)=-6x^{2}+6x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$

Lập BBT, ta được: $h(x)\leq \frac{\sqrt{3}}{18}, \forall x\epsilon (\frac{1}{2};1]$

Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0,c=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$

[kienvuhoang]

Đặt P=(a-b)(b-c)(c-a)

$\Rightarrow P^{2}=(a-c)^{2}(b-c)^{2}(a-b)^{2}$

Giả sử:c=min{a;b;c)

$\Rightarrow (a-c)(b-c)\geq 0$

Ta có:

$P^{2}=\frac{1}{4}.[2(a-c)(b-c)]^{2}(a-b)^{2}

          \leq \frac{1}{4}[\frac{4(a-c)(b-c)+(a-b)^{2}}{3}]^{3} =\frac{1}{108}(a+b-2c)^{3}

           \leq \frac{1}{108}(a+b+c)^{3}=\frac{1}{108}

\Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{18}\leq P\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\ge 0$ và thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{-3}{\sqrt{18}}\le (a-b)(b-c)(c-a)\le \frac{3}{\sqrt{18}}$

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt{3}\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|.\]

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$ ta có

\[\begin{aligned}(a+b+c)^3 &  \geqslant (a+b-2c)^3 \\& = 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c)+\left[2(b-c)-(\sqrt{3}-1)(a-b)\right]^2\left[\frac{\sqrt{3}}{2}(a-b)+(a+b-2c)\right] \\& \geqslant 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c).\end{aligned}\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.