Đến nội dung

Hình ảnh

VMF's Marathon Hình học Olympic

* * * * * 1 Bình chọn hình học

Lời giải halloffame, 02-01-2018 - 16:29

Lời giải bài toán 196. Ta chứng minh bài toán cho đường tròn $(K)$ tiếp xúc trong $(O),$ trường hợp tiếp xúc ngoài chứng minh tương tự. Ta thấy có thể bỏ đi điểm $B$ không cần thiết.

Bài toán 196'. $\Delta ADC$ vuông tại $D$ nội tiếp $(O),$ một đường tròn $(E)$ tiếp xúc trong $(O)$ ở $T.M,N \in (E)$ sao cho $MN \parallel AD$ và $MN=AD.P,R$ là trung điểm $MD,MC.$ Khi đó $P \in (ORT).$

Chứng minh. 

$M'$ đối xứng $M$ qua $T.$ Dựng điểm $I$ sao cho $OEMI$ là hình bình hành.

$OI$ cắt $(O),CD$ ở $K,L.J$ là hình chiếu $I$ lên $CD.$

Từ $OEMI$ là hình bình hành và $EM=ET$ ta suy ra được $IK=IM=JN,LK=LM$

Gọi $Q$ đối xứng $M$ qua $O$ thì $Q \in LM'.$ Ta có $LM'.LQ=LK.NJ=LK.KI=KO^2-OL^2=LC.LD \Rightarrow Q \in (M'CD).$

Qua phép vị tự tâm $M$ tỉ số $\frac{1}{2}$ ta có ngay đpcm.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 434 trả lời

#421
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Bài toán 194. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn bất kì qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $S$. $I$ là trung điểm $AS$. $K$ là hình chiếu của $S$ lên phân giác trong góc $BAC$. Chứng minh rằng đường thẳng qua trực tâm tam giác $ABC$ vuông góc $IK$ đi qua trực tâm tam giác $AEF$.

Bổ đề. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp được đường tròn. Gọi $E,F$ lần lượt là các giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của phân giác hai góc $BFC,DEC$. $G,H$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$. Chứng minh rằng $G,H,I$ thẳng hàng.

Chứng minh. Xem tại đây

Quay trở lại bài toán.

Khuong Nguyen Geometry.png

Gọi $T$ là trực tâm của tam giác $AEF$.

Từ Bổ đề ta có được: $IK$ là $\text{Gauss}$

Theo tính chất đường thẳng $\text{Gauss}$ vuông góc với đường thẳng $\text{Steiner}$: $IK \perp HT$



#422
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Bài toán 195. Tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, $K$ là một điểm khác $H$ nằm trong tam giác. $H_1,H_2,H_3$ lần lượt là trực tâm tam giác $AHK, BHK, CHK$. $X,Y,Z$ là theo thứ tự là trung điểm $AH_1; BH_2; CH_3$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 22-05-2017 - 20:48


#423
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Lời giải bài toán 195. Xem tại đây.

Hiện tại mình không có bài mới, mọi người đề nghị bài mới giúp mình.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#424
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Bài toán 194 mình có hai cách không sử dụng đường thẳng Gauss đợi vài ngày nữa mình sẽ đăng giải.

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#425
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Bài toán 196. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có tiếp điểm với $BC$ là $D$ , đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$.  Đường tròn nội tiếp tam giác $AEF$ cắt $EF,FA,AE$ tại $P,R,Q$ . Lấy $K$ sao cho $IK \perp IA$ và $DK=DI$ . $HK$ cắt $AI,RQ$ tại $J,L$ . Lấy $G$ đối xứng với $J$ qua $PL$ . $QR$ cắt $EF$ và đường thẳng qua $J$ song song với $EF$ tại $S,T$. $X,Y$ là trung điểm của $AS,JT$.Chứng minh rằng $LG \perp XY$ 

eeeeeeeeeeee.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 22-05-2017 - 23:08

~O)  ~O)  ~O)


#426
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Bài toán 177 :  Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$, $AB$ cắt $CD$ tại $P$, $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $APD$ và $AQB$ bằng khoảng cách giữa trực tâm hai tam giác $CQD$ và $BPC$

Một lời giải khác của bạn dangkhuong cho bài toán 177:

Gọi $X,Y,Z,T$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $APD,QDC,QAB,PBC.$

Vì $X,Y,Z,T$ thẳng hàng nên đpcm $\Leftrightarrow ZT=XY.$

Gọi $PX$ cắt $QY$ ở $F,K$ là hình chiếu của $Q$ lên $DC,O$ và $O'$ là tâm $(QDC)$ và $ABCD).$

$QK,QO$ đẳng giác $\Rightarrow QO \perp AB.$ Gọi $QO$ cắt $AB$ ở $J.$

$\Delta QAB \sim \Delta QCD \Rightarrow \Delta QZB \sim \Delta QYD \Rightarrow \frac{QZ}{QY}=\frac{QB}{QD}=\frac{QJ}{QK} \Rightarrow KJ \parallel YZ.$

$\widehat{XPD}=\widehat{DAX}=\widehat{SQA}=\widehat{ZQB} \Rightarrow \Delta FPK \sim \Delta BQJ \Rightarrow \frac{KF}{JB}=\frac{PK}{QJ}.$

Tứ giác $QJKP$ nội tiếp $\Rightarrow \Delta QJS \sim \Delta PKS \Rightarrow \frac{SJ}{SK}=\frac{QJ}{PK}=\frac{KF}{JB} \Rightarrow JK \parallel FB \Rightarrow FB \parallel YT.$

$\Rightarrow YTBF$ là hình bình hành $\Rightarrow YF=TB.$

Lại có $\Delta YXF \sim \Delta TZB \Rightarrow ZT=XY.$

Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 04-06-2017 - 22:44

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#427
DucLuong91

DucLuong91

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Bài toán 197. Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp $(O),(K)$ tiếp xúc ngoài $(O)$ ở $T.P,Q \in (K)$ sao cho $QP \parallel AD$ và $PQ=AD.AP$ giao $DQ$ tại $N,BP$ giao $CQ$ tại $H.$ Chứng minh $T \in (ONH).$

 

Screenshot (7).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-01-2018 - 15:51


#428
Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Bài 198. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),H$ là trực tâm của tam giác. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $CH$ tại $P,$ kẻ phân giác $AD,PD$ cắt $AB$ tại $K.$ Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $AD.$

8.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:38


#429
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Hướng chứng minh cho Bài toán 196:

Chứng minh $J$ là tâm nội tiếp và $LP$ vuông góc với $QR$ => $LG$ đi qua trực tâm $AEF$ và $AQR$ nên $LG$ vuông góc với đường thẳng Gauss.

@halloffame: Lời giải này chưa hoàn thiện, đầy đủ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-01-2018 - 16:31

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#430
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài toán 199. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $OH$ cắt $(O)$ tại $E, F$. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. dựng các hình thang cân $ACBB'$ và $ABCC'$ với $BB' || AC, CC'|| AB$. $BC$ cắt $B'C'$ tại $X$. Chứng minh $E, F, X, D$ đồng viên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:38

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#431
SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Bài 198:

Gọi $AD,CH$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $X,Y$.

Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ $\binom{X A C}{B Y A}$ ta có $X,Y, K$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$ song song $BC$

$=>$ Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{B Y X}{X A C}$ ta có $KL // BC$ với $L$ là giao $CH$ với $AD$.

Do đó $HK \perp AD.$

Bài toán 200. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $\omega $ tiếp xúc trong $(O)$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $X$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $\omega $ tại $T$ sao cho $T$ nằm giữa $A,D$, $AX$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $S$. $(AST)$ cắt $AC,AB$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $BCPQ$ là tứ giác lưỡng tâm.  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:56

HSGS in my heart  :icon12:


#432
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Nhân dịp sắp kết thúc năm 2017 và tiến tới VMO 2018, đồng thời Marathon HH đạt mốc 200 bài, mình thay mặt BQT và các ĐHV gửi lời cảm ơn tới các thành viên của diễn đàn đã và đang theo dõi, giải bài trong Marathon HH. Sau đây là danh sách các bài toán trong Marathon chưa có lời giải.

$$\begin{array}{| l | l |} \hline Bài & Người đăng\\ \hline 162 & quanghung86\\ \hline 196 & ecchi123\\ \hline 197 & DucLuong91\\ \hline 199 & dogsteven\\ \hline 200 & SonKHTN1619\\ \hline \end{array}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-12-2017 - 14:57

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#433
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Bài 200: Qua phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AI^2$ ta biến đường tròn $A-Mixtilinear$ thành đường tròn nội tiếp vậy $D$ thành 1 điềm thuộc $A-Mixtilinear$ đồng nghĩa chính là điểm $T$ và $S$ thành $X$.. Vậy $(AST)$ thành $BC$, nên $B,C,P,Q$ thuộc 1 đường tròn nhưng mình thầy 2 đường chéo không vuông nên có thể là đây không phải tứ giác lưỡng tiếp

Mình không biết là mình có hiều đúng đề không nữa nhưng mình thấy đây không phải từ giác lưỡng tâm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 01-01-2018 - 18:25


#434
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
✓  Lời giải

Lời giải bài toán 196. Ta chứng minh bài toán cho đường tròn $(K)$ tiếp xúc trong $(O),$ trường hợp tiếp xúc ngoài chứng minh tương tự. Ta thấy có thể bỏ đi điểm $B$ không cần thiết.

Bài toán 196'. $\Delta ADC$ vuông tại $D$ nội tiếp $(O),$ một đường tròn $(E)$ tiếp xúc trong $(O)$ ở $T.M,N \in (E)$ sao cho $MN \parallel AD$ và $MN=AD.P,R$ là trung điểm $MD,MC.$ Khi đó $P \in (ORT).$

Chứng minh. 

$M'$ đối xứng $M$ qua $T.$ Dựng điểm $I$ sao cho $OEMI$ là hình bình hành.

$OI$ cắt $(O),CD$ ở $K,L.J$ là hình chiếu $I$ lên $CD.$

Từ $OEMI$ là hình bình hành và $EM=ET$ ta suy ra được $IK=IM=JN,LK=LM$

Gọi $Q$ đối xứng $M$ qua $O$ thì $Q \in LM'.$ Ta có $LM'.LQ=LK.NJ=LK.KI=KO^2-OL^2=LC.LD \Rightarrow Q \in (M'CD).$

Qua phép vị tự tâm $M$ tỉ số $\frac{1}{2}$ ta có ngay đpcm.

Screen Shot 2018-01-02 at 1.29.42 AM.png


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#435
trihoctoan

trihoctoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Bài 201: (Sưu tầm từ Luis Gonzalez) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$  .Gọi $l_1,l_2,l_3$ lần lượt là các đường thẳng qua $D,E,F$ và vuông góc với $OD,OE,OF$ .Gọi $X$ là giao điểm của $l_2,l_3$.Tương tự có $Y,Z $.Chứng minh rằng :$DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh