x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 24-05-2016 - 20:35
x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 24-05-2016 - 20:35
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
Một ý tưởng AM-GM ngược dấu !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 24-05-2016 - 20:23
AM-GM:
- $\frac{x^{3}}{3y+1}=x^{3}-\frac{3x^{3}y}{3y+1}=x^{3}-\frac{3x^{3}y}{y+y+y+1}\geq x^{3}-\frac{3}{4}\frac{x^{3}y}{\sqrt[4]{y^{3}}}= x^{3}-\frac{3}{4}\sqrt[4]{x^{12}y}=x^{3}-\frac{3}{16}.4\sqrt[4]{x^{3}x^{3}x^{3}y}\geq x^{3}-\frac{3}{16}(3x^{3}+y)$
- $(x^{3}+1+1)+(y^{3}+1+1)+(z^{3}+1+1)\geq 3(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3$
- $\Rightarrow \frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}-\frac{3}{16}(3(x^{3}+y^{3}+z^{3})+x+y+z)\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}-\frac{3}{16}(3(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3)=\frac{3}{4}$
chỗ màu đỏ xem sao
Chẳng biết bài hay không mà lời giải thì khá thú vị:
x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}\geq \frac{3}{4}$
Cauchy-Schwarz:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}=\frac{x^{6}}{3x^{3}y+x^{3}}+\frac{y^{6}}{3y^{3}z+y^{3}}+\frac{z^{6}}{3z^{3}x+z^{3}}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+x^{3}+y^{3}+z^{3}}=\frac{3}{1+(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)}$
Đến đây ta cần CM:
$\frac{3}{1+(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq 3$
Mà: $(x^{3}+x^{3}+1)+(y^{3}+y^{3}+1)+(z^{3}+z^{3}+1)\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Rightarrow 3\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq 3\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$
Đây là 1 BĐT rất nổi tiếng và chặt của giáo sư Vasile Cirtoaje !
Xin trích lại 1 lời giải tự nhiên nhất:
Vì \[(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a) = \frac{1}{6} \sum (a^2-2b^2+c^2+3bc-3ca)^2\] nên ta có điều phải chứng minh.
Vậy: $\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}\geq \frac{3}{4}\blacksquare$
x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$
Áp dụng AM-GM:$x^{3}+1+1\geq 3x\Rightarrow x^{3}+3\geq 3x+1\Rightarrow \frac{x^{3}}{3x+1}\geq \frac{x^{3}}{x^{3}+3}\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{3y+1}\geq \sum \frac{x^{3}}{y^{3}+3}$
Đặt $x^3=a;y^3=b;z^3=c$ cho dễ nhìn thì ta có $a+b+c=3$
Áp dụng Cauchy-Schwarz:$\sum \frac{a^{2}}{ab+3a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}+3(a+b+c)}=\frac{3^{2}}{3+3.3}=\frac{3}{4}$
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}\geq \frac{3}{4}$
Cauchy-Schwarz:
$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}=\frac{x^{6}}{3x^{3}y+x^{3}}+\frac{y^{6}}{3y^{3}z+y^{3}}+\frac{z^{6}}{3z^{3}x+z^{3}}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+x^{3}+y^{3}+z^{3}}=\frac{3}{1+(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)}$
Đến đây ta cần CM:
$\frac{3}{1+(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq 3$
Mà: $(x^{3}+x^{3}+1)+(y^{3}+y^{3}+1)+(z^{3}+z^{3}+1)\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Rightarrow 3\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq 3\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$
Đây là 1 BĐT rất nổi tiếng và chặt của giáo sư Vasile Cirtoaje !
Phức tạp quá cậu ạ
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh