Chủ đề này có 1 trả lời

[marcoreus101]

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{2}$. Tìm min $T=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\times (\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 24-05-2016 - 14:32

[leminhnghiatt]

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{2}$. Tìm min $T=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\times (\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$

Theo bđt Bu-nhi-a ta có: $\sqrt{(x+y)(x+z)}  \geq x+\sqrt{yz}$

 

$T=\sum \dfrac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x} \geq \sum \dfrac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x} \geq 2(y+x+z)+\sum \dfrac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}$

 

$\geq 2(x+y+z)+ 2 \sum \dfrac{yz}{x}$

 

Mà ta có: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x} \geq 2y$

 

$\rightarrow \sum \dfrac{xy}{z} \geq x+y+z$

 

$\rightarrow T \geq 2(x+y+z)+2(x+y+z)=4(x+y+z)=4\sqrt{2}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 24-05-2016 - 15:59