Chủ đề này có 1 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn : $3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right )=x+y+2$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\left ( \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-3xy \right )\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{x} \right )^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-05-2016 - 16:11

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn : $3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right )=x+y+2$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\left ( \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-3xy \right )\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{x} \right )^2$$

Một cách trâu bò của mình, các bạn thông cảm

Đặt $a=x+y$ và $b=xy$

Từ giả thiết$=>\frac{3(a^2-a-2b)}{b}=a+2<=>b=\frac{3a^2-3a}{a+8}$

Ta có:

$P=\left [ \left (\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}  \right )^2-5xy  \right ].\frac{(x+y)^2-4xy}{x^2y^2}=\frac{(a^2-4b)[a^2(a^2-3b)^2-5b^3]}{b^4}$

Thay $b=\frac{3a^2-3a}{a+8}$

 

$=>P=\frac{(a^2-4a+12)(a^6+6a^5+3a^4-a^3+342a^2+243a+135)}{81(a-1)^4}$

 

Khảo sát hàm số $P(a)=\frac{(a^2-4a+12)(a^6+6a^5+3a^4-a^3+342a^2+243a+135)}{81(a-1)^4}$

 

Có đạo hàm $P'(a)=\frac{(a+2)(a-4)(4a^6+6a^5+12a^4+185a^3+171a^2+1431a+1107)}{81(a-5)^5}$

$P'(a)=0<=>a=4........$

$=>$ Hàm số $P(a)\geqslant \frac{2596}{81}$

 

Vậy $P_{min}=\frac{2596}{81}$ khi $(x,y)=(1,3)$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 24-05-2016 - 17:45