Chủ đề này có 6 trả lời

[dunghoiten]

Bài toán: Cho $x,y>0$; $m<n$ ; $x^m+y^m=1$. Tìm min của $A=x^n+y^n$

[tpdtthltvp]

Bài toán: Cho $x,y>0$; $m<n$ ; $x^m+y^m=1$. Tìm min của $A=x^n+y^n$

Dự đoán dấu $"="$ tại $x=y=\frac{1}{\sqrt[m]{2}}.$

Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:

$$ax^n+b.\frac{1}{\sqrt[m]{2^n}}\geq (a+b)\sqrt[a+b]{x^{an}.\frac{1}{\sqrt[m]{2^{bn}}}}=(a+b).\frac{1}{\sqrt[m(a+b)]{2^{nb}}}.x^{\frac{an}{a+b}}$$

Tương tự:

$$ay^n+b.\frac{1}{\sqrt[m]{2^n}}\geq (a+b).\frac{1}{\sqrt[m(a+b)]{2^{nb}}}.y^{\frac{an}{a+b}}$$

Cộng vế với vế $2$ BĐT trên lại, ta được:

$$a(x^n+y^n)\geq (a+b).\frac{1}{\sqrt[m(a+b)]{2^{nb}}}(x^{\frac{an}{a+b}}+y^{\frac{an}{a+b}})-\frac{2b}{\sqrt[m]{2^n}}$$

Ta chọn $a,b$ sao cho:

$$\frac{an}{a+b}=m\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{m}{n-m}$$

Từ đó tìm được $GTNN_A$.

P/S

Cách trâu bò quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 25-05-2016 - 13:05

[NTA1907]

Bài toán: Cho $x,y>0$; $m<n$ ; $x^m+y^m=1$. Tìm min của $A=x^n+y^n$

$m,n\in \mathbb{Z}$ không bạn?

[dunghoiten]

$m,n\in \mathbb{Z}$ không bạn?

 

Đề bài chỉ cho thế thôi, e chịu

[leminhnghiatt]

P/S

Cách trâu bò quá

 

Áp dụng co-si cho n số dương:

 

$m.x^n+(n-m).\dfrac{1}{\sqrt[m]{2^n}} \geq n\sqrt[n]{\dfrac{x^{mn}}{\sqrt[m]{2^{n(n-m)}}}}=\dfrac{n}{\sqrt[m]{2^{n-m}}}.x^m$

 

Thiết lập bđt tương tự rồi cộng vào ta đc:

 

$\iff m(x^n+y^n)+(n-m)\sqrt[m]{2^{m-n}} \geq (x^m+y^m)\dfrac{n}{\sqrt[m]{2^{n-m}}}=\dfrac{n}{\sqrt[m]{2^{n-m}}}$

 

$\rightarrow x^n+y^n \geq \dfrac{n}{m\sqrt[m]{2^{n-m}}}-\dfrac{(n-m)\sqrt[m]{2^{m-n}}}{m}=\dfrac{n}{m\sqrt[m]{2^{n-m}}}-\dfrac{n-m}{m\sqrt[m]{2^{n-m}}}$

 

$\rightarrow x^n+y^n \geq \dfrac{1}{\sqrt[m]{2^{n-m}}}$

 

p/s

anh làm thế này không biết có ngon hơn không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 25-05-2016 - 12:57

[tpdtthltvp]

Hình như bài làm của tpdtthltvp có vấn đề vì điểm rơi $x^n=\dfrac{1}{\sqrt[m]{2^n}}$ (chỗ e dùng AM-GM đầu tiên)

 

Em nghĩ thế chỉ ảnh hưởng đến kết quả bài toán và hoàn toàn có thể khắc phục bằng cách chỉnh lại chỗ đó!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 25-05-2016 - 12:52

[leminhnghiatt]

Em nghĩ thế chỉ ảnh hưởng đến kết quả bài toán và hoàn toàn có thể khắc phục bằng cách chỉnh lại chỗ đó!

uhm, dù sao cách làm của e cũng tổng quát hơn cho mọi bài toán dạng kiểu kiểu này :v 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 25-05-2016 - 12:56