Chủ đề này có 1 trả lời

[dunghoiten]

Bài toán: cho $x,y>0$; $ax^2+by^2=1$ Tìm min của $A=cx^3+dy^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 24-05-2016 - 20:12

[leminhnghiatt]

Bài toán: cho $x,y>0$; $ax^2+by^2=1$ Tìm min của $A=cx^3+dy^3$

 

$A=cx^3+dy^3=\dfrac{(cx^3+dy^3)(\dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y)}{\dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y} \geq \dfrac{1}{\dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y}$

 

Mà ta có: $\dfrac{a^3}{c^2}+\dfrac{b^3}{d^2}=(ax^2+by^2)(\dfrac{a^3}{c^2}+\dfrac{b^3}{d^2}) \geq (\dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y)^2$

 

$\rightarrow \dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y \leq \sqrt{\dfrac{a^3}{c^2}+\dfrac{b^3}{d^2}}$

 

$\rightarrow A \geq \dfrac{1}{\dfrac{a^2}{c}x+\dfrac{b^2}{d}y} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a^3}{c^2}+\dfrac{b^3}{d^2}}}=\dfrac{cd}{\sqrt{a^3d^2+b^3c^2}}$

 

Dấu "=" $\iff \dfrac{cx}{a}=\dfrac{by}{d}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 24-05-2016 - 20:27