Cho $x,y,z \geq 0$: $x^n+y^n+z^n=M$ ($n \in N^*, M \geq 0$). Tìm GTLN:
a, $P=xy+yz+zx$
b, $Q=\sqrt[m]{xy}+\sqrt[m]{yz}+\sqrt[m]{zx}$ ($m \in N, m\geq 2$)
Cho $x,y,z \geq 0$: $x^n+y^n+z^n=M$ ($n \in N^*, M \geq 0$). Tìm GTLN:
a, $P=xy+yz+zx$
b, $Q=\sqrt[m]{xy}+\sqrt[m]{yz}+\sqrt[m]{zx}$ ($m \in N, m\geq 2$)
Cho $x,y,z \geq 0$: $x^n+y^n+z^n=M$ ($n \in N^*, M \geq 0$). Tìm GTLN:
a, $P=xy+yz+zx$
b, $Q=\sqrt[m]{xy}+\sqrt[m]{yz}+\sqrt[m]{zx}$ ($m \in N, m\geq 2$)
a, Áp dụng bđt Co-si cho n số dương ta có:
$x^n+y^n+(n-2).\dfrac{M}{3} \geq n\sqrt[n]{x^ny^n.\dfrac{M^{n-2}}{3^{n-2}}}= xy.n\sqrt[n]{\dfrac{M^{n-2}}{3^{n-2}}}$
Thiết lập các bđt TT rồi cộng vào ta có: $2(x^n+y^n+z^n)+(n-2)M \geq n\sqrt[n]{\dfrac{M^{n-2}}{3^{n-2}}}(\sum xy)$
$\iff nM \geq n\sqrt[n]{\dfrac{M^{n-2}}{3^{n-2}}}(\sum xy)$
$\rightarrow \sum xy \leq 3\sqrt[n]{\dfrac{M^2}{9}}$
Dấu "=" $\iff x=y=z=\sqrt[n]{\dfrac{M}{3}}$
b, ta làm tương tự như a, thiết lập bđt:
$x^n+y^n+(mn-2).\dfrac{M}{3} \geq mn\sqrt[mn]{\dfrac{M^{mn-2}}{3^{mn-2}}}.\sqrt[m]{xy}$
...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 25-05-2016 - 12:20
Don't care
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh