Chủ đề này có 1 trả lời

[doanminhhien127]

$5^{x}-2^{y}=1$ $\left ( x,y\epsilon Z^{+} \right )$

$2^{x}-3^{y}=7$ $\left ( x,y\epsilon Z^{+} \right )$

[Chris yang]

$5^{x}-2^{y}=1$ $\left ( x,y\epsilon Z^{+} \right )$

$2^{x}-3^{y}=7$ $\left ( x,y\epsilon Z^{+} \right )$

Bài 1: $5^x-2^y=1\Leftrightarrow 2^y=5^x-1$

+) Nếu $y<3$ ta thu được $y=2,x=1$

+) Nếu $y\geq 3$ thì $5^x-1\equiv 0\pmod 8$. Xét modulo $2$ cho $x$ ta thu được $x$ chẵn. Đặt $x=2t$ thì $2^y=(5^t-1)(5^t+1)$. Do đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho $5^t-1=2^m, 5^t+1=2^n\Rightarrow 2=2^m(2^{n-m}-1)$, kéo theo $m=1\rightarrow 5^t=3$ ( vô lý)

Vậy $(x,y)=(1,2)$

 

Bài 2: $2^x-3^y=7$. Dễ thấy $x>2$. Do đó $2^x=3^y+7\equiv -1+(-1)^y\equiv 0\pmod 4$. Suy ra $y$ chẵn

Mặt khác $3^y=2^x-7\equiv (-1)^x-1\equiv 0\pmod 3$ nên $x$ chẵn. 

Như vậy, đặt $x=2x_1,y=2y_1$ ta có $(2^{x_1}-3^{y_1})(2^{x_1}+3^{y_1})=7$, kéo theo $2^{x_1}-3^{y_1}=1$ và $2^{x_1}+3^{y_1}=7$

$\Rightarrow  2.2^{x_1}=8\rightarrow x_1=2\rightarrow x=4\rightarrow y=2$

Vậy $(x,y)=(4,2)$