Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau thoả mãn $(x+z)(y+z)=1$. CMR :
$\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(x+z)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} \geqslant 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khanh 6c Hoang Liet: 25-05-2016 - 20:49
$\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(x+z)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} \geqslant 4$
Bắt đầu bởi Khanh 6c Hoang Liet, 25-05-2016 - 20:48
#2
Đã gửi 08-05-2021 - 14:38
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực không âm đôi một khác nhau thoả mãn $(x+z)(y+z)=1$. CMR :
$\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(x+z)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} \geqslant 4$
Đặt $x+z=a;y+z=b\Rightarrow x-y=a-b$ và $ab=1$
Ta cần chứng minh:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geqslant 4$
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}+\frac{2}{ab}\geqslant \frac{2}{ab}+\frac{2}{ab}=\frac{4}{ab}=4(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
