Chủ đề này có 6 trả lời

[tpdtthltvp]

Giả sử $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với $k,l\geq 0$ là các hằng số tùy ý: $$P=kx^2+ly^2+z^2$$

 

[I Love MC]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi : 
$kx^2+m \ge 2\sqrt{km}x$ 
$ly^2+n \ge 2\sqrt{ln}.y$ 
$z^2+p \ge 2\sqrt{p}z$ 
Do đó $P \ge 2(\sqrt{km}x+\sqrt{ln}y+\sqrt{p}z)$ 
Ta cần xác định $m,n,p$ sao cho : 
$\sqrt{km}=\sqrt{ln}=\sqrt{p}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-05-2016 - 17:26

[Nam Duong]

Giả sử $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với $k,l\geq 0$ là các hằng số tùy ý: $$P=kx^2+ly^2+z^2$$

$0 \le a \le k,\ 0 \le b \le l$

$ax^2+by^2 \ge 2xy\sqrt{ab}$

$(k-a)x^2+\frac{1}{2}z^2 \ge 2xz\sqrt{\frac{1}{2}(k-a)}$

$(l-b)x^2+\frac{1}{2}z^2 \ge 2xz\sqrt{\frac{1}{2}(l-b)}$

$ \rightarrow P \le 2xy\sqrt{ab}+2xz\sqrt{\frac{1}{2}(k-a)}+2xz\sqrt{\frac{1}{2}(l-b)}$

vì vậy cần tìm $a,b$ sao cho $ab=\frac{1}{2}(k-a)=\frac{1}{2}(l-b)\ (1)$

từ $(1) \rightarrow a^2+a(\frac{1}{2}-k+l)-\frac{1}{2}k=0 \rightarrow a=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+k-l + \sqrt{(\frac{1}{2}-k+l)^2+2k})$

 

nên $min_P=\frac{1}{2}(\frac{k}{2}+\frac{1}{4}+\frac{l}{2} -\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{1}{2}-k+l)^2+2k})$

đạt tại $(x,y,z)(\sqrt{\frac{1}{1+2\sqrt{2(k-a)}}}; \ \sqrt{\frac{1}{1+2\sqrt{2(k-a)}}};\ \sqrt{\frac{2(k-a)}{1+2\sqrt{2(k-a)}}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 26-05-2016 - 18:52

[tpdtthltvp]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi : 
$kx^2+m \ge 2\sqrt{km}x$ 
$ly^2+n \ge 2\sqrt{ln}.y$ 
$z^2+p \ge 2\sqrt{p}z$ 
Do đó $P \ge 2(\sqrt{km}x+\sqrt{ln}y+\sqrt{p}z)$ 
Ta cần xác định $m,n,p$ sao cho : 
$\sqrt{km}=\sqrt{ln}=\sqrt{p}$ 

Bài của anh bị nhầm rồi vì đề cho $xy+yz+zx$ với lại liên quan đến dấu $"="$ nữa!!

[PlanBbyFESN]

Theo mình nghĩ thì tổng quát cái này có thể là $P=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$ có điều $a,b,c$ là các số dương!

[tpdtthltvp]

Theo mình nghĩ thì tổng quát cái này có thể là $P=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$ có điều $a,b,c$ là các số dương!

Vẫn như nhau mà!  Có điều bài của em chia cho $c$ thôi!

[PlanBbyFESN]

Vẫn như nhau mà!  Có điều bài của em chia cho $c$ thôi!

 

Không! Ý anh là hệ số dương