Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangthihaiyen2000]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn :$a^{2} + b^{2} + c^{2} =3$ . Tìm Min : $P=\frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangthihaiyen2000: 26-05-2016 - 19:11

[leminhnghiatt]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn :$a^{2} + b^{2} + c^{2} =3$ . Tìm Min : $P=\frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$

Ta có bđt: $(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2}) \geq \dfrac{9}{2}$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2} \geq \dfrac{9}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3}{2}$

 

Bạn tham khảo cách chứng minh bên dưới:

 

 

Do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$  ta suy ra $a-b>0,b-c>0$ 

 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$

 

vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$    , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$

 

$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$    luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 26-05-2016 - 20:26

[hoangthihaiyen2000]

Ta có bđt: $(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2}) \geq \dfrac{9}{2}$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2} \geq \dfrac{9}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3}{2}$

 

Bạn tham khảo cách chứng minh bên dưới

c'ơn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangthihaiyen2000: 26-05-2016 - 21:51

[quangtq1998]

Ta có bđt: $(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2}) \geq \dfrac{9}{2}$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2} \geq \dfrac{9}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3}{2}$

 

Bạn tham khảo cách chứng minh bên dưới:

Dấu "=" xảy ra khi nào bạn 

[hoangthihaiyen2000]

Ta có bđt: $(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2}) \geq \dfrac{9}{2}$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2} \geq \dfrac{9}{(2(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3}{2}$

 

Bạn tham khảo cách chứng minh bên dưới:

bạn ơi bài này sai r :v ĐK đề của mk a,b,c là các sô k âm nha