Chủ đề này có 3 trả lời

[kudoshinichihv99]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^2+b^2+c^2=5$

CMR :$(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ac)\geq -4$

[tungteng532000]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^2+b^2+c^2=5$

CMR :$(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ac)\geq -4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=c+x & \\ b=c+y& \end{matrix}\right.(x\geq y)$
Ta có: $5=a^2+b^2+c^2=3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2\Rightarrow 3c^2+2c(x+y)=5-x^2-y^2$
Và $P=-xy(x-y)(3c^2+2c(x+y)+xy)=-xy(x-y)(5-x^2-y^2+xy)\geq -4 \Leftrightarrow xy(x-y)(5-x^2-y^2+xy)\leqslant 4$
Đặt $ m=x-y, n=xy$, ta có: $P=mn(5-m^2-n)\leqslant 4\Leftrightarrow 5mn\leq m^3n+mn^2+4$
Áp dụng bđt AM-GM, ta được: $m^3n+\frac{mn^2}{2}+\frac{mn^2}{2}+2+2\geq 5mn$ (đpcm)
Bạn tìm nốt dấu bằng nhé!

[phuc_90]

Ở đây, n chưa bít là âm hay dương, nên ko Cô si được.

[caobo171]

Ở đây, n chưa bít là âm hay dương, nên ko Cô si được.

Vì a, b lớn hơn c nên x và y không âm rồi bạn ạ , lại có x lớn hơn y nên x-y không âm lun