Chủ đề này có 375 trả lời

[NTA1907]

Các bài toán chưa có lời giải:

Bài 61: $x^{\frac{1}{x}} = (x+1)^{\frac{1}{x+1}}.$

Bài 67: $\left\{\begin{matrix} 4\sqrt[3]{y^2}\left ( x^2y^2+8y^2x+12y^2 \right )+2y\sqrt[3]{y}+1=5\sqrt[3]{y^2}.\sqrt{y(xy+3y)^3} & & \\ \left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2 \right )^3+4y^4\left ( x^2y^2+8xy^2+12y^2-1 \right )=1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 79: Tìm tất cả các nghiệm phức của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2=y+1, \\y^2=z+1,\\ z^2=x+1.\end{matrix}\right.$

Bài 94: $\left\{\begin{matrix} &\dfrac{x+y}{1+xy}=\dfrac{1-2y}{2-y} \\ &\dfrac{x-y}{1-xy}=\dfrac{1-3x}{3-x} \end{matrix}\right.$

Bài 95: $\left\{\begin{matrix} &(x-y)^{2}+4(x+3y)=28+8\sqrt{y(x-2)}+8\sqrt{(y-2)(y-4)} \\ &\sqrt{(y-2)(x-4)}+2\sqrt{(y-3)(x-5)}=(y-x)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 01-08-2016 - 11:31

[An Infinitesimal]

Bài 94: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=4y-y^2 \\ y=4z-z^2 \\ z=4x-x^2 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Bài 88 là một bài đề nghị của 30/4. 

Em sửa bài này thành bài 97 nhen!

Anh sẽ cố nghĩ ra bài toán sau.

[An Infinitesimal]

Có chút nhầm lần, 97 thành 96, và 98 thành 97 mới đúng.

[An Infinitesimal]

Xóa!

Xóa! Đã hoàn tất!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 04-08-2016 - 11:50

[Baoriven]

Bài 98: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+y+xy=3 \\ \frac{4}{5y+9}+\frac{4}{x+6}+\frac{1}{1+(x+1)(y+2)}=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right.$

 

P/S: Dạo này Marathon yên ắng quá. Xin tiếp tục bằng bài hệ đơn giản này. 

[NTA1907]

Một cách giải rất hay mà mình sưu tầm được xin chia sẻ với các bạn...

Đặt $x+1=a, y+1=b, c=\frac{1}{4}$

Hệ phương trình đã cho tương đương: $\left\{\begin{matrix} &abc=1 \\ &\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}+\frac{1}{1+a+ab}=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right.$

Mà với $abc=1$ ta luôn có đẳng thức sau:

$\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}+\frac{1}{1+a+ab}=1$

$\Rightarrow \frac{x+1}{2}=1\Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=1$

Vậy $(x,y)=(1;1)$

Bài này đã được giải ở topic

[nguyenduy287]

Bài 99 : Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}36x^2y-60x^2+25y=0 \\ 36y^2z-60y^2+25z=0 \\ 36z^2x-60z^2+25x=0 \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Lời giải bài 99:

Nhận thấy ngay: $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ.

Từ hệ, ta có: $x,y,z> 0$.

Từ phương trình đầu ta được: $y=\frac{60x^2}{36x^2+25}$.

Ta có: $y=\frac{60x^2}{36x^2+25}\leq \frac{60x^2}{60x}=x(Cauchy)$

Tương tự ta có: $x\leq z\leq y\leq x$.

Suy ra: $x=y=z=\frac{5}{6}$.

[Baoriven]

Bài 100: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^5+x^3y^2+xy^4+y^5z^2=2y^5z+2y^5 \\ x^2z+yz^2+z^3\sqrt{x-y}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

 

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

Hôm nay có dịp giải một hệ bài bằng số phức và cũng tìm tài liệu về nội dung này cho một bạn khác... Và mình phát hiện ra "đây cũng là 1 bài có thể áp dụng số phức" mà "không dễ nhận ra".

 

Nguồn tin: http://diendantoanho...ệ-phương-trinh/

 

Nếu liên kết với ý này và "thử có áp dụng" được hay không thì ta có thể thử:

Đặt $z=x+iy$

Vế trái liên quan đến $(z+a+i b)^3$ và vế phải liên quan $(z+c+id)^2$.

\[a^3 + 3 a^2 x - 3 a b^2 - 6 a b y + 3 a x^2 - 3 a y^2 - 3 b^2 x - 6 b x y - c^2 - 2 c x + d^2 + 2 d y + x^3 - x^2 - 3 x y^2 + y^2=0,\]

\[3 a^2 b + 3 a^2 y + 6 a b x + 6 a x y - b^3 - 3 b^2 y + 3 b x^2 - 3 b y^2 + 3 x^2 y - 2 x y - 2 d x - y^3 - 2 c y - 2 c d=0.\]

Phương trình thứ nhất của hệ tương ứng phần thực, phương trình thứ hai tương ứng là "đối" của phần ảo.

 

Đồng nhất "sơ": 

Đồng nhất hệ số $y$: $2d - 6ab=0$ và  $3a^2 - 3b^2 - 2c + 1=0.$

 

Đồng nhất hệ số $y^2$: $- 6b - 2=0,$ và $4 - 6a=0.$

 

Do đó $(a,b,c,d)=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1,- \frac{2}{3}\right).$

 

Sau khi kiểm tra lại, ta thấy (đã kiểm tra lại: bộ này thỏa mãn).

 

Hệ số tự do của các phương trình bị sai khác, ta điều chỉnh như sau

 \[\left(z+\frac{2-i}{3}\right)^3+\frac{40}{27}+\frac{2}{27}i= \left(z+1-\frac{2}{3}i\right)^2.\]

Phương trình được viết lại: 

\[(z - i)(z^2+z - 1 + i)=0.\]

Phần còn lại đơn giản!

 

 

Dẫn thêm lời giải thô kệch trước đây.

 

Lời giải cho bài 87:

(Lời giải không đẹp, ý tưởng đơn giản nhưng tính toán nhiều)

(Đang tìm kiếm một lời giải khác)

 

 

Đặt $p1=x^3 + x^2 - 3xy^2 + 2xy - x - y^2 + 1=x^3+x^2+x (-3 y^2+2 y-1)-y^2+1$ và

$p2=- 3x^2y + x^2 - 2xy + y^3 - y^2 + y - 1=x^2 (1-3 y)-2 x y+y^3-y^2+y-1.$


Ta thực hiện một số phép biến đổi sau

$\left\{\begin{matrix} & p11=(1-3y)p1-xp2= ( -y+1) {x}^{2}+ ( ( -1+2y-3{y}^{2})  ( -3y+1) +{y}^{2}-y+1-{y}^{3}) x+ ( -{y}^{2}+1 )  ( -3y+1)
\\ & p22=(1-y)p2-(1-3y)p11= ( -22{y}^{2}+6y+32{y}^{3}-24{y}^{4} ) x-8{y}^{4}+4{y}^{3}+10{y}^{2}-8y+2
\end{matrix}\right.$


Đặt $a=-22{y}^{2}+6y+32{y}^{3}-24{y}^{4}, b=
-536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y.$


$\left\{\begin{matrix} & p111=a.p11-(1-y)p22=( -536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y) x-72{y}^{7}+6y-26{y}^{5}+120{y}^{6}-40{y}^{2}-80{y}^{4}+92{y}^{3}\\&

p222=b.p111-a.p22=4-832{y}^{10}-2944{y}^{8}+1888{y}^{9}+192{y}^{11}+1412{y}^{5}-2748{y}^{6}+3356{y}^{7}-260{y}^{4}-156{y}^{3}+124{y}^{2}-36y\end{matrix}\right.$
 

Với $y$ thỏa $y\neq 1, y\neq \frac{1}{3}$ và $ab \neq 0$,

hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} & p1=0\\ & p2=0\end{matrix}\right.$

tương đương với hệ

 

$\left\{\begin{matrix} & p111=0\\ & p222=0\end{matrix}\right.$

 

Phương trình $p222=0$ tương đương

\[4 \left( 3y-1 \right)  \left( 4{y}^{4}-8{y}^{3}+9{y}^{2}-4y+1 \right)  \left( 4{y}^{4}+5{y}^{2}-1 \right)  \left( y-1 \right) ^{2}=0.\]

 

Dễ thấy $4 y^4  - 8 y^3  + 9 y^2  - 4 y + 1>0$ nên  phương trình chỉ có hai nghiệm $y_{1,2}= \pm \sqrt{\frac{\sqrt{41}-5}{8}}.$

 

Từ đó suy ra $x_{1,2}=....$

 

Trường hợp $y= 1 \vee  y= \frac{1}{3} \vee ab = 0$,

Nhận xét:

Nếu $b=0$ và $y\neq 1, \frac{1}{3}$ thì

 

$\left\{\begin{matrix} &-536{y}^{5}+6{y}^{2}-130{y}^{3}+364{y}^{4}+448{y}^{6}-192{y}^{7}-2+10y=0,
\\& 120{y}^{6}-72{y}^{7}+6y-26{y}^{5}-40{y}^{2}-80{y}^{4}+92{y}^{3}=0.\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ nhất được viết lại:

\[-2y \left( y-1 \right)  \left( 3y-1 \right)  \left( 2y-1 \right)  \left( y+1 \right)  \left( 6{y}^{2}-5y+3 \right)=0.\]

Suy ra hệ trên vô nghiệm $y\neq 1, \frac{1}{3}$.

 

 

Suy ra $y_3=1$ và $x_3=0.$

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm đặc biệt: nghiệm hệ phương trình thỏa $(2x+1)y= \pm 1.$

 

 

 

Thêm bài toán tương tự (xem ảnh) trích từ "Quyết tâm chinh phục hệ phương trình trong kỳ thi Quốc Gia" (từ Xuctu.com).

 

 

Nguồn: 

 https://books.google.com.vn/books?id=sZCfDAAAQBAJ&pg=PA150&lpg=PA150&dq=s%E1%BB%91+ph%E1%BB%A9c+%2B+h%E1%BB%87+ph%C6%B0%C6%A1ng+tr%C3%ACnh&source=bl&ots=5y_KLOurAs&sig=jMSQ43GiLHFcAp-13SDOhwYxINE&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwievaT13a_OAhUHnJQKHaLsBuk4ChDoAQgiMAE#v=onepage&q=s%E1%BB%91%20ph%E1%BB%A9c%20%2B%20h%E1%BB%87%20ph%C6%B0%C6%A1ng%20tr%C3%ACnh&f=true

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 07-08-2016 - 23:54

[ducthang0701]

mấy cái này của lớp mấy đây nhỉ

[nguyenduy287]

mấy cái này của lớp mấy đây nhỉ

lớp 11 đã có rồi nhé chuyên toán lớp 11 sẽ được học số phức đầu năm .........

[An Infinitesimal]

Bài 100: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^5+x^3y^2+xy^4+y^5z^2=2y^5z+2y^5 \\ x^2z+yz^2+z^3\sqrt{x-y}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{matrix}\right.$

Bài toán thâm hiểm này có thể xử lý nhanh bằng cách nhận ra phương trình thứ nhất là phương trình bậc hai theo ẩn $z$; đồng thời từ phương trình thứ hai, ta có $x\ge y\ge 0.$ Ta có thể chỉ ra $\Delta \le 0$ hoặc viết thành tổng các số không âm như sau

 

 \[\left(x^5+x^3y^2+xy^4-3y^5\right)+y^5(z-1)^2=0.\]

 Suy ra $x=y=0 \vee x=y >0, z=1.$

Phương trình thứ hai, dẫn đến hệ chỉ có các nghiệm $(x,y,z)=(0,0,z), (1,1,1) với z\in \mathbb{R}.$ 

[Baoriven]

Lời giải khác cho Bài 100:

Điều kiện: $x\geq y\geq 0$.

Nếu $y=0$. Thay vào phương trình đầu được $x=0$. Từ phương trình 2 suy ra $z$ tùy ý.

Xét $y\neq 0$. Chia hai vế phương trình đầu cho $y^5$, ta được:

$(\frac{x}{y})^5+(\frac{x}{y})^3+(\frac{x}{y})+(z-1)^2=3$. (*)

Xét hàm: $f(t)=t^5+t^3+t,\forall t\in \mathbb{R}$. Ta có: $f'(t)=5t^4+3t^2+1> 0$.

Suy ra $f(t)$ đồng biến. Mà: $\frac{x}{y}\geq 1$. nên:

$f(\frac{x}{y})\geq f(1)\Rightarrow (\frac{x}{y})^5+(\frac{x}{y})^3+(\frac{x}{y})\geq 3$.

Do đó (*) xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}x=y \\ z=1 \end{matrix}\right.$ Thay vào phương trình hai được: $x=1$.

Vậy hệ có nghiệm: $(x;y;z)=(0;0;c);(1;1;1),(c\in \mathbb{R})$.

[Baoriven]

Bài 101: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3 \\ x^2y-x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Vẫn còn khá nhiều bài tập chưa có lời giải. 

[lamgiaovien2]

góp một bài kèm lời giải cho diễn đàn 

Hình gửi kèm

• 

[An Infinitesimal]

Bài 102: 

Giải hệ phương trình sau

\[\left\{\begin{matrix} u^5 +15  = 5(uv+1)(u^2 -v), \\ v^5 +198  = -5(uv+1)(v^2 +u). \end{matrix}\right.\]

 

[NTA1907]

Bài 101: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3 \\ x^2y-x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Vẫn còn khá nhiều bài tập chưa có lời giải. 

Thay $2=x-x^{2}y$ vào pt(1) ta được:

$\left ( \sqrt{x^{2}+1}-4x^{2}y+x \right ).4y^{2}=8x^{2}y^{3}(\sqrt{4y^{2}+1}-1)$

+) $x=0$ không là nghiệm của hệ

+) $x\neq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}+x-4x^{2}y=2x^{2}y(\sqrt{4y^{2}+1}-1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}+x=2x^{2}y(\sqrt{4y^{2}+1}+1)$

Chia cả 2 vế của pt trên cho $x^{2}$ ta được:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}=2y+2y\sqrt{4y^{2}+1}$

$\Leftrightarrow 2y=\frac{1}{x}$

Thay vào pt(2) ta được: $\frac{x}{2}-x+2=0$

$\Rightarrow x=4, y=\frac{1}{8}$

[An Infinitesimal]

Bài 103:

 Giải phương trình 

$$ (e^{x^4}-e^{x^2})\ln{4} =(4^{x^{4}}-4^{x^2}).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 17-08-2016 - 15:20

[NTA1907]

Bài 104: Giải phương trình trên tập số thực:

$(2^x+3^x+6^x)^2=9x^4+30x^3+43x^2+30x+9$