Bằng cách cư xử hệ như hệ đẳng cấp, ta sẽ có mộtlời giải nhẹ nhàng về ý tưởng (không cần phải đặt bất kỳ câu hỏi: tại sao...)nhưng đòi hỏi tính toán nhiều.
Vậy hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm $(x,y)= \left(\frac{-1+\sqrt[5]{5}}{2}, \frac{1+\sqrt[5]{5}}{2}\right) \vee \left( \frac{\alpha^{4/3}-\alpha^{-1/3}}{2},-\frac{\alpha^{4/3}+\alpha^{-1/3}}{2}\right),$ trong đó $\alpha= \sqrt[5]{5}.$
Câu hỏi liên quan bài toán này: Bài toàn này được xuất hiện như thế nào? Ai là người "sáng tác" ra nó và người đó đã dựa vào ý tưởng nào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 24-07-2016 - 19:19
(Vẫn câu hỏi cũ: mấy bài toán kinh dị này đến từ đâu? Ai đã sinh ra những đứa con "xấu xí" này?)
Lời giải bài 89:
Nhận xét về phương trình thứ 2: có những phần đồng bậc và có một chút không đồng bậc. Ta đặt ẩn phụ $a=\sqrt{x},\, b=\sqrt{y} (a, b\ge 0)$ và chuyển các phần đồng bậc sang về phải, ta thu được
Nhận xét: Từ phương trình thứ 2 (của PT ban đầu), việc ràng buộc điều kiện tồn tại $ y $, ta có $ x\ge \frac{42+12\sqrt{43}}{41}>2 $. Hơn nữa, với mỗi $ x>2 $, ta có
Ta đặt $a=2,b=\sqrt{x}+1,c=x^2+1,d=x\sqrt{x}+1,e=x+1$. Khi đó phương trình tương đương: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}$
Ta sẽ chứng minh: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}$ với mọi $a,b,c,d,e$ dương.
Thật vậy ta có: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (a+b+c+d+e)\sum \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{25}{3}$.
Mà theo BĐT Cauchy Schwarz thì $\sum \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{25}{3(a+b+c+d+e)}$
Tù đó ta suy ra điều phải chứng minh. Hơn nữa đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=e$ tức là $x=1$. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
Mạn phép cho em nói một tí : Em thấy topic có vẻ hơi lạc hướng của Marathon mà dần trở thành Topic thảo luận về phương trình và hệ phương trình rồi ạ.
Vì hướng tới thi olympic nên em xin đề xuất bài tiếp theo:
Ta đặt $a=2,b=\sqrt{x}+1,c=x^2+1,d=x\sqrt{x}+1,e=x+1$. Khi đó phương trình tương đương: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}$
Ta sẽ chứng minh: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}$ với mọi $a,b,c,d,e$ dương.
Thật vậy ta có: $\sum \frac{a+b}{c+d+e}\geq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (a+b+c+d+e)\sum \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{25}{3}$.
Mà theo BĐT Cauchy Schwarz thì $\sum \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{25}{3(a+b+c+d+e)}$
Tù đó ta suy ra điều phải chứng minh. Hơn nữa đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=e$ tức là $x=1$. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
Mạn phép cho em nói một tí : Em thấy topic có vẻ hơi lạc hướng của Marathon mà dần trở thành Topic thảo luận về phương trình và hệ phương trình rồi ạ.
Vì hướng tới thi olympic nên em xin đề xuất bài tiếp theo:
Bạn thử kiểm tra lại. Chú ý số hạng $\dfrac{x^{2}+x\sqrt{x}+2}{x+x\sqrt{x}+4}.$
Phương trình này có ít nhất một nghiệm khác trong $\left(\frac{3}{2},2\right)$?
À vâng em có đã kiểm tra và hơi sai sót một tí. Thật sự ra thì cách giải của em không có vấn đề gì mà do anh NTA1907 ghi đề bị sai sót đó anh. Đề chính xác phải là:
Nhân tiện vì không có ai gửi bài nên em xin tiếp tục:
Bài 93: Giải phương trình: $\sqrt{2x+15}=32x^2+32x-20$.
Một phương pháp đơn giản nhưng kém thông minh đó là ... bình phương cả 2 vế
Điều kiện $x\geq -\frac{15}{2}$ Bình phương cả 2 vế ta được $2x+15=\left(32x^2+32x-20\right)^2\\ \Leftrightarrow 1024x^4+2048x^3-256x^2-1282x+385=0 \ \color{blue}{(*)}$
Đến đây em dùng đoán nghiệm, đồng nhất thức, đủ thứ mới ra được:
À vâng em có đã kiểm tra và hơi sai sót một tí. Thật sự ra thì cách giải của em không có vấn đề gì mà do anh NTA1907 ghi đề bị sai sót đó anh. Đề chính xác phải là:
Từ đây, dẫn đến phương trình chỉ có nghiệm $x=\frac{1}{2} \vee x=\frac{-9-\sqrt{221}}{16}$.
Một phương pháp đơn giản nhưng kém thông minh đó là ... bình phương cả 2 vế
Điều kiện $x\geq -\frac{15}{2}$ Bình phương cả 2 vế ta được $2x+15=\left(32x^2+32x-20\right)^2\\ \Leftrightarrow 1024x^4+2048x^3-256x^2-1282x+385=0 \ \color{blue}{(*)}$
Đến đây em dùng đoán nghiệm, đồng nhất thức, đủ thứ mới ra được:
Nhận xét: Từ phương trình thứ 2 (của PT ban đầu), việc ràng buộc điều kiện tồn tại $ y $, ta có $ x\ge \frac{42+12\sqrt{43}}{41}>2 $. Hơn nữa, với mỗi $ x>2 $, ta có
Bài này đã gặp ở nhiều chỗ khác nhau với "yêu cầu" khác nhau (đều xuất hiện trên diễn đàn này). Vài minh họa (đã bổ sung trích dẫn):
1) Tìm các giá trị có thể có của $x+y+z$ (Ref như nhận xét 2).
2) Giải bằng phương pháp lượng giác hóa(?)- bài tập đề nghị trong chuyên đề lượng giác hóa nào đó: bài viết của GSXoan, http://diendantoanho...lượng-giác-hóa/.
3) Bài toán xuất hiện trong topic thảo luận về PT (trong mục PT-HPT, không thấy ai giải): Bài 457 của the unknown trong http://diendantoanho...g-trình/page-48.
Từ phương trình, ta thu được $x, y, z\le 4$. Và từ đó suy ra x, y, z đôi một "cùng dấu", nghĩa là tích từng cặp số không âm.
Hơn nữa, nếu $x, y, z<0$ thì $\left|\frac{x}{y}\right|= 4-y>4$.
Tương tự $\left|\frac{y}{z}\right|>4,\, \left|\frac{z}{x}\right|>4.$
Suy ra điều vô lý.
Đặt $x= 4\cos{a}, y= 4\cos{b}, z=4\cos{c}$ với $a, b, c \in [0, \pi/2]$.
Tuy nhiên cách đặt này không mang lại kết quả.
Phép đặt ẩn phụ hiệu chỉnh:
$x= 2+2\cos{a}, y= 2+2\cos{b}, z=2+2\cos{c}$ với $a, b, c \in [0, \pi]$.
(Ẩn một bình luận về kỹ thuật lượng giác hóa)
Phân tích: khi $x,y,z \in [0,4]$, cách lượng giác hóa thứ nhất: đặt $x= 4\cos{a}, y= 4\cos{b}, z=4\cos{c}$ với $a, b, c \in [0, \pi/2]$. đây là cách không tự nhiên. Và cách lương giác hóa thứ hai:
$x= 2+2\cos{a}, y= 2+2\cos{b}, z=2+2\cos{c}$ với $a, b, c \in [0, \pi]$. Đây là cách rất tự nhiên tự nhiên vì $x-2, y-2, z-2 \in [-2, 2]$.
Sau khi thay vào HPT, ta nhận thấy sự hiệu quả của phép đặt ẩn phụ này.
Ta loại trường hợp đầu tiên vì $y=-\sqrt{x}\Leftrightarrow y<0$ (mâu thuẫn). Như vậy $\frac{1}{x}-\frac{2}{y}=0\Leftrightarrow y=2x$
Thế vào PT 2 ta được $2x\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}$
Đến đây em chẳng nghĩ được gì ngoài ... bình phương cả 2 vế (không biết mấy anh đặt ẩn phụ sao hay thế)
Trước tiên, ta đặt $a=\sqrt{x^2+1} \ (a> 1)$ cho gọn, khi ấy thì $x=\sqrt{a^2-1}$, ta được $2\sqrt{a^2-1}(a-1)=a\sqrt{3}\\ \Rightarrow 4\left(a^2-1\right)\left(a^2-2a+1\right)=3a^2\\ \Leftrightarrow 4a^4-11a^3+8a-4=0\\ \Leftrightarrow (a-2)(4a^3-3a+2)=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}a=2 \Leftrightarrow x=\sqrt{3} \\ 4a^3-3a+2=0 \end{array} \right.$