Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh : $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#2
nguyengoldz

nguyengoldz

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

điều kiện bài toán tương đương với : tồn tại m,n,p để 
$a=\frac{2m}{n+p}, b=\frac{2n}{p+m}, c=\frac{2p}{m+n}$
đến đây chắc là dễ rồi  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyengoldz: 30-05-2016 - 16:56


#3
Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$

Đặt $\sqrt{ab}=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}$... ta thấy TMĐK

BĐT trở thành $\sum \frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq 3$

Ta có: $\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \frac{x}{y+x}+\frac{x}{z+x}$

Từ đó ta chứng minh được BĐT



#4
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Đặt $\sqrt{ab}=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}$... ta thấy TMĐK

BĐT trở thành $\sum \frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq 3$

Ta có: $\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \frac{x}{y+x}+\frac{x}{z+x}$

Từ đó ta chứng minh được BĐT

Vì sao lại đặt được như thế v cậu :v


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#5
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

điều kiện bài toán tương đương với : tồn tại m,n,p để 
$a=\frac{2m}{n+p}, b=\frac{2n}{p+m}, c=\frac{2p}{m+n}$
đến đây chắc là dễ rồi  :D

K hiểu b à :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 30-05-2016 - 19:54

Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#6
81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$

Đặt $\sqrt{ab}=x; \sqrt{bc}=y; \sqrt{ca}=z$ $\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Ta sẽ cần chứng minh: 

$x+y+z \leqslant 3\Leftrightarrow  x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \leqslant 9=2(x^2+y^2+z^2)+2xyz+1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geqslant 2(xy+yz+xz)$

Ta có bất đẳng thức Schur:$x^3+y^3+z^3+3xyz \geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 + \frac{9xyz}{x+y+z} \geqslant 2(xy+yz+zx)$

Ta sẽ chứng minh: $2xyz+1 \geqslant \frac{9xyz}{x+y+z}\Leftrightarrow 2xyz(x+y+z)+x+y+z \geqslant 9xyz$

Mà:$xyz(x+y+z)+xyz(x+y+z)+(x+y+z) \geqslant 3\sqrt[3]{(x+y+z)^3.(xyz)^2}\geqslant 3\sqrt[3]{27xyz.(xyz)^2}=9xyz$

Suy ra điều cần chứng minh đúng, suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1



#7
Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Vì sao lại đặt được như thế v cậu :v

=)) Bạn phải đổi biến sao cho thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca+abc=4$ 

Ở đây sau khi đặt ta tính được tổng của 3 biến x,y,z cũng =4 bạn à

Tham khảo thêm tại đây


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 04-06-2016 - 21:18





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh