Đến nội dung

Hình ảnh

$a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
dunghoiten

dunghoiten

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Bài toán:

 

1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$

 

2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$


   tumblr_nsj13dqhY81u55xnmo4_500.gif

 


#2
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Bài toán:

 

1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$

$Đặt (2^a;2^b;2^c)\Rightarrow (x;y;z)>0\Rightarrow xyz=1. Cần CM: \sum x^3\geq \sum x$

Áp dụng: $a^3+1+1\geq 3a(a>0)\Rightarrow VT\geq 3\sum x-6=\sum x+2(\sum x-3)\geq \sum x+2(3\sqrt[3]{1}-3)=\sum x(đpcm)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=0$


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#3
linhphammai

linhphammai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết

Bài toán:

 

1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$

 

2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

Phần 2

Xét hiệu

$a^{4} + b^{4} + c^{4} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

= $a^{3}(a - 1) + b^{3}(b - 1) + c^{3}(c - 1) - (a - 1) - (b - 1) - (c - 1)$ ( do a + b + c = 3)

= $(a - 1)^{2}(a^{2} + a +1) + (b - 1)^{2}(b^{2} + b +1) + (c - 1)^{2}(c^{2} + c +1) \geq 0$

=> Bất đẳng thức đúng

Dấu = tại a = b = c = 1

Bài này nếu cho $a + b +c \geq 3$ vẫn cho kết quả đúng 


NEVER GIVE UP... :angry:  

Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...

 

 


#4
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Bài toán:

 

2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

 

$a^4+a^4+a^4+1 \geq 4\sqrt{a^{12}}=4a^3$

 

$\rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)+3 \geq 4(a^3+b^3+c^3)$

 

$\rightarrow 3(a^4+b^4+c^4) \geq 3(a^3+b^3+c^3) +(a^3+b^3+c^3-a-b-c) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$

 

$\rightarrow a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$ (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 27-05-2016 - 23:09

Don't care


#5
Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Bài toán:

 

 

2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

 

ta có $(a^4+b^4+c^4)^2 \ge 3(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$

$\rightarrow (a^4+b^4+c^4)^2 \ge (a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2) \ge (a^3+b^3+c^3)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 27-05-2016 - 23:12


#6
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Bài toán:

 

2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$

Chú ý: Ta có mở rộng sau:

Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:

$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-05-2016 - 12:22

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#7
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Chú ý: Ta có mở rộng sau:

Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:

$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$

Sử dụng bđt $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $:$

$$(a,b,c)$$

$$(a^{n},b^{n},c^{n})$$

Ta được : $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \geq\frac{(a+b+c)(a^{n}+b^{n}+c^{n})}{3(a^{n}+b^{n}+c^{n})} = \frac{a+b+c}{3}$



#8
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Chú ý: Ta có mở rộng sau:

Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:

$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$

Cũng có thể chứng minh bằng quy nạp:

Với $n=1$ hiển nhiên đúng với bất đẳng thức cơ bản $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$.

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\geq 2$, tức là ta cần chỉ ra $\frac{a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}\geq \frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}\Leftrightarrow \sum (a^{n+2}b^{n}+b^{n+2}a^{n})\geq 2\sum a^{n+1}b^{n+1}$.

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do ta có đánh giá sau theo $AM-GM$: $a^{n+2}b^{n}+b^{n+2}a^{n}=a^{n}b^{n}(a^2+b^2)\geq 2a^{n+1}b^{n+1}$, suy ra đpcm.

Dưới đây là hai tổng quát của bài toán.

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 28-05-2016 - 15:41

$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh