Bài toán:
1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
Bài toán:
1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
Bài toán:
1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$
$Đặt (2^a;2^b;2^c)\Rightarrow (x;y;z)>0\Rightarrow xyz=1. Cần CM: \sum x^3\geq \sum x$
Áp dụng: $a^3+1+1\geq 3a(a>0)\Rightarrow VT\geq 3\sum x-6=\sum x+2(\sum x-3)\geq \sum x+2(3\sqrt[3]{1}-3)=\sum x(đpcm)$
Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=0$
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
Bài toán:
1,Cho $a+b+c=0$ CMR: $8^a+8^b+8^c \geq 2^a+2^b+2^c$
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
Phần 2
Xét hiệu
$a^{4} + b^{4} + c^{4} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$
= $a^{3}(a - 1) + b^{3}(b - 1) + c^{3}(c - 1) - (a - 1) - (b - 1) - (c - 1)$ ( do a + b + c = 3)
= $(a - 1)^{2}(a^{2} + a +1) + (b - 1)^{2}(b^{2} + b +1) + (c - 1)^{2}(c^{2} + c +1) \geq 0$
=> Bất đẳng thức đúng
Dấu = tại a = b = c = 1
Bài này nếu cho $a + b +c \geq 3$ vẫn cho kết quả đúng
NEVER GIVE UP...
Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...
Bài toán:
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
$a^4+a^4+a^4+1 \geq 4\sqrt{a^{12}}=4a^3$
$\rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)+3 \geq 4(a^3+b^3+c^3)$
$\rightarrow 3(a^4+b^4+c^4) \geq 3(a^3+b^3+c^3) +(a^3+b^3+c^3-a-b-c) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$
$\rightarrow a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$ (ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 27-05-2016 - 23:09
Don't care
Bài toán:
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
ta có $(a^4+b^4+c^4)^2 \ge 3(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$
$\rightarrow (a^4+b^4+c^4)^2 \ge (a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2) \ge (a^3+b^3+c^3)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 27-05-2016 - 23:12
Bài toán:
2, Cho $a+b+c=3$. CMR: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3$
Chú ý: Ta có mở rộng sau:
Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:
$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-05-2016 - 12:22
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Chú ý: Ta có mở rộng sau:
Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:
$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
Sử dụng bđt $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $:$
$$(a,b,c)$$
$$(a^{n},b^{n},c^{n})$$
Ta được : $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \geq\frac{(a+b+c)(a^{n}+b^{n}+c^{n})}{3(a^{n}+b^{n}+c^{n})} = \frac{a+b+c}{3}$
Chú ý: Ta có mở rộng sau:
Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:
$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
Cũng có thể chứng minh bằng quy nạp:
Với $n=1$ hiển nhiên đúng với bất đẳng thức cơ bản $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$.
Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\geq 2$, tức là ta cần chỉ ra $\frac{a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}\geq \frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}\Leftrightarrow \sum (a^{n+2}b^{n}+b^{n+2}a^{n})\geq 2\sum a^{n+1}b^{n+1}$.
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do ta có đánh giá sau theo $AM-GM$: $a^{n+2}b^{n}+b^{n+2}a^{n}=a^{n}b^{n}(a^2+b^2)\geq 2a^{n+1}b^{n+1}$, suy ra đpcm.
Dưới đây là hai tổng quát của bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 28-05-2016 - 15:41
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh