Chủ đề này có 1 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài toán: Cho $x,y,z  \in (0;1), xy+yz+zx=1$.CMR:

 

$\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2} \geq \dfrac{3\sqrt{2}}{3}$

[PlanBbyFESN]

Hình như là bài này:

 

 

Ta có bđt phụ: 

Với mọi $1 \geq x>0$ ,BĐT sau đúng $$x(1-x^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$$ 

Thật vậy 

$$BDT\Leftrightarrow x^2(1-x^2)^2\leq \frac{4}{27}$$

Áp dụng AM-GM ,ta có 

$$x^2(1-x^2)^2=\frac{1}{2}.2x^2.(1-x^2)(1-x^2)\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{2x^2+(1-x^2)+(2-x^2)}{3} \right ]^3=\frac{4}{27}$$

------------------

Quay lại bài toán:

Dự đoán $Min$ của $VT=\frac{3\sqrt{3}}{2}$:

Ta có $x^2+y^2+z^2=1$ nên ta viết BĐT thành$$\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)$$

Do đó,ta chỉ cần chứng minh $$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2$$ hay $$\frac{1}{x(1-x^2)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Nhưng BĐT đó đã được giải quyết triệt để

Phép chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$