Chủ đề này có 1 trả lời

[01634908884]

Cho $a,b$ dương

thỏa mãn $ab+1\leq b$

cmr $(a+\frac{1}{a^{2}})+(b^{2}+\frac{1}{b})\geq 9$

[thang1308]

Đặt $x=a, y=\frac{1}{b}$ thì$\frac{x}{y}+1\leq \frac{1}{y}\Leftrightarrow x+y\leq 1$

Khi đó $(a+\frac{1}{a^2})+(b^2+\frac{1}{b})=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$

Áp dụng AM-GM, ta có:

       $x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=(8x+8x+\frac{1}{x^2})+(8y+8y+\frac{1}{y^2})-15(x+y)\geq 2.3\sqrt[3]{64}-15=9$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{1}{2},b=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 28-05-2016 - 10:23