Chủ đề này có 1 trả lời

[Quan Anh]

Nhờ mọi người giải giùm ( càng rõ ràng, dễ hiểu càng tốt ).
1. Cho a, b, c > 0. Cho abc = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a+b+c.$

 

2. Cho $0< x< 1.$ Chứng minh: $\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}-3\geq 2\sqrt{2}.$

 

3.Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a\left ( 3a+b \right )}+\sqrt{b\left ( 3b+a \right )}}\geq \frac{1}{2}$

[PlanBbyFESN]

Nhờ mọi người giải giùm ( càng rõ ràng, dễ hiểu càng tốt ).
1. Cho a, b, c > 0. Cho abc = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a+b+c.$

 

2. Cho $0< x< 1.$ Chứng minh: $\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}-3\geq 2\sqrt{2}.$

 

3.Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a\left ( 3a+b \right )}+\sqrt{b\left ( 3b+a \right )}}\geq \frac{1}{2}$

 

1. $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a+b+c\Leftrightarrow b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}\geq a+b+c$   $(abc=1)$

 

   $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}\geq 2b^{2}ac=2b..........$         (AM-GM)

 

3. $\sqrt{a\left ( 3a+b \right )}+\sqrt{b\left ( 3b+a \right )}=\frac{1}{2}(\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)})\leq \frac{1}{4}\left [ (4a+3a+b)+(4b+3b+a) \right ]=2(a+b)$       (AM-GM)

    

$\Rightarrow \frac{a+b}{\sqrt{a\left ( 3a+b \right )}+\sqrt{b\left ( 3b+a \right )}}\geq \frac{1}{2}$

 

2.

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}-3\geq 2\sqrt{2}.\Leftrightarrow x+1\geq (x-x^{2})(3+2\sqrt{2})\Leftrightarrow (3+2\sqrt{2})x^{2}-(3+2\sqrt{2})x+x+1\geq 0\Leftrightarrow (1+\sqrt{2})^{2}x-2(1+\sqrt{2})x+1\geq 0\Leftrightarrow \left [ (1+\sqrt{2})x-1 \right ]^{2}\geq 0\blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 28-05-2016 - 12:49