Chủ đề này có 4 trả lời

[Thislife]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c \geq 0 $(không có hai số nào đồng thời  bằng $0$) và thỏa mãn $a^{2} +b^{2} + c^{2} =3$ thì ta có $:$

$\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b} \geq 1 $

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 28-05-2016 - 12:31

[tpdtthltvp]

Chứng minh rằng nếu $a,b,c \geq 0 $(không có hai số nào đồng thời  bằng $0$) và thỏa mãn $a^{2} +b^{2} + c^{2} =3$ thì ta có $:$

$\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b} \geq 1 $

Áp dụng BĐT $Schwarz,$ ta có:

$$\sum \frac{a^2}{b+2c}=\sum \frac{a^4}{a^2b+2a^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}=\frac{9}{\sum a^2b+2\sum a^2c}$$

Do đó chỉ cần chứng minh:

$$\sum a^2b+2\sum a^2c\leq 9$$

Thật vậy, BĐT trên đúng do:

• $a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{3.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=3$
• $2(a^2c+b^2a+c^2b)\leq 2\sqrt{(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}\leq 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}.3}=6$

Do đó BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-05-2016 - 14:22

[Thislife]

Thực ra bài này lấy trong đề hùng vương $2012$ ,chỉ thay đổi đk : https://drive.google...ew?pref=2&pli=1

Đáp án đề :https://drive.google...ew?pref=2&pli=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 28-05-2016 - 14:40

[duy nhat]

Theo bất đảng thức Cauchy-Schwarz  ta có :

$[a^2(a + 2b^2)+b^2(b + 2c^2)+c^2(c + 2a^2)][\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b}]\geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$

Vậy  $\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b}$ $\geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^3 + b^3 + c^3 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)}$

Do đó chỉ cần chứng minh:

$(a^2 + b^2 + c^2)^2\geq a^3 + b^3 + c^3 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$

hay BĐT sau :

$a^4 + ^4 + c^4 \geq a^3 + b^3 + c^3$

Từ  $(a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c)\geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$ và $9=3(a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c)^2$ suy ra $a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2 + b^2 + c^2$.

Do bởi  $(a^4 + b^4 + c^4)(a^2 + b^2 + c^2)\geq (a^3 + b^3 + c^3)^2$  nên  $a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3 + b^3 + c^3$

Đẳng thức xảy ra khi  a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duy nhat: 30-05-2016 - 23:06

[Thislife]

T ơi nhầm rồi kìa

Theo bất đảng thức Cauchy-Schwarz  ta có :

$[a^2(a + 2b^2)+b^2(b + 2c^2)+c^2(c + 2a^2)][\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b}]\geq (a^2 + b^2 + c^2)$

Vậy  $\frac{a^{2}}{b+2c} +\frac{b^{2}}{c+2a} +\frac{c^{2}}{a+2b}$ $\geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^3 + b^3 + c^3 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)}$

Do đó chỉ cần chứng minh:

$(a^2 + b^2 + c^2)^2\geq a^3 + b^3 + c^3 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$

hay BĐT sau :

$a^4 + ^4 + c^4 \geq a^3 + b^3 + c^3$

Từ  $(a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c)\geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$ và $9=3(a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c)^2$ suy ra $a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2 + b^2 + c^2$.

Do bởi  $(a^4 + b^4 + c^4)(a^2 + b^2 + c^2)\geq (a^3 + b^3 + c^3)^2$  nên  $a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3 + b^3 + c^3$

Đẳng thức xảy ra khi  a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 30-05-2016 - 23:01