Cho a,b,c,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$
Cho a,b,c,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$
$A=\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}$
$=\dfrac{(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2)}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)} \geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}$
$\geq \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}= \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a+b+c+d)}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}$
$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)}{4(a+b+c+d)} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{3}{4}$
Dấu "=" $\iff a=b=c=d=\dfrac{3}{4}$
Toàn bộ phần trên đều dùng bđt Buniacopxki
Don't care
$A=\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}$
$=\dfrac{(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2)}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)} \geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}$
$\geq \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}= \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a+b+c+d)}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}$
$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)}{4(a+b+c+d)} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{3}{4}$
Dấu "=" $\iff a=b=c=d=\dfrac{3}{4}$
Toàn bộ phần trên đều dùng bđt Buniacopxki
a4+b4+c4+d4)(a2+b2+c2+d2)(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2)≥(a3+b3+c3+d3)2(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2) là tại sao ạ?
CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI
$tpdtthltvp$ đã đưa ra dạng tổng quát $:$
Chú ý: Ta có mở rộng sau:
Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:
$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
Sử dụng bđt $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $:$
$$(a,b,c)$$
$$(a^{n},b^{n},c^{n})$$
Ta được : $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \geq\frac{(a+b+c)(a^{n}+b^{n}+c^{n})}{3(a^{n}+b^{n}+c^{n})} = \frac{a+b+c}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 29-05-2016 - 08:58
Bunhia mà bạn, đầu tiên nhân cả tử và mẫu với $a^2+b^2+c^2+d^2$
Ta có:$ (a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)^2$
em nghĩ nên dùng schwart sẽ nhanh hơn
$tpdtthltvp$ đã đưa ra dạng tổng quát $:$
liên quan j đến chỗ kia hả bạn?
CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI
Thì $4$ biến cũng tương tự thôi :
Dưới đây là hai tổng quát của bài toán:
Spoiler
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 29-05-2016 - 09:46
Thì $4$ biến cũng tương tự thôi :
n là các số hạng từ a1 den an à bạn?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hien2000a: 29-05-2016 - 10:05
CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI
em nghĩ nên dùng schwart sẽ nhanh hơn
$Schwarz$ và $Bunyakovsky$ khác nhau à
$Schwarz$ và $Bunyakovsky$ khác nhau à
ý của em là schwart dạng enel
Mình nghĩ là bài này dùng BĐT Cheybeshev cũng đc, mình đã giải bài này ở đây:http://diendantoanho...bcd1-a3b3c3d30/
quangtohe1234567890
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh