Đến nội dung

Hình ảnh

P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
hien2000a

hien2000a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

Cho a,b,c,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$


~O)  ~O)  ~O)  CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI :like  :like  :like 


#2
Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Cho a,b,c,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$

 

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn.gif

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 28-05-2016 - 23:42


#3
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Cho a,b,c,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$

 

$A=\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}$

 

$=\dfrac{(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2)}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)} \geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}$

 

$\geq \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}= \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a+b+c+d)}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}$

 

$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)}{4(a+b+c+d)} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=d=\dfrac{3}{4}$

 

Toàn bộ phần trên đều dùng bđt Buniacopxki


Don't care


#4
hien2000a

hien2000a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

$A=\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}$

 

$=\dfrac{(a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2)}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)} \geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a^2+b^2+c^2+d^2)}$

 

$\geq \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}= \dfrac{(a^3+b^3+c^3+d^3)(a+b+c+d)}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}$

 

$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)}{4(a+b+c+d)} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=d=\dfrac{3}{4}$

 

Toàn bộ phần trên đều dùng bđt Buniacopxki

a4+b4+c4+d4)(a2+b2+c2+d2)(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2)(a3+b3+c3+d3)2(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2) là tại sao ạ?


~O)  ~O)  ~O)  CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI :like  :like  :like 


#5
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

a4+b4+c4+d4)(a2+b2+c2+d2)(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2)(a3+b3+c3+d3)2(a3+b3+c3+d3)(a2+b2+c2+d2) là tại sao ạ?

 

Bunhia mà bạn, đầu tiên nhân cả tử và mẫu với $a^2+b^2+c^2+d^2$

 

Ta có:$ (a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)^2$


Don't care


#6
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

$tpdtthltvp$ đã đưa ra dạng tổng quát $:$

Chú ý: Ta có mở rộng sau:

Với $a,b,c$ là các số dương và $n\in N,n\geq 2$ thì:

$$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}\geq \frac{a+b+c}{3}$$

Sử dụng bđt $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $:$

$$(a,b,c)$$

$$(a^{n},b^{n},c^{n})$$

Ta được : $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \geq\frac{(a+b+c)(a^{n}+b^{n}+c^{n})}{3(a^{n}+b^{n}+c^{n})} = \frac{a+b+c}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 29-05-2016 - 08:58


#7
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

Bunhia mà bạn, đầu tiên nhân cả tử và mẫu với $a^2+b^2+c^2+d^2$

 

Ta có:$ (a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)^2$

em nghĩ nên dùng schwart sẽ nhanh hơn


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#8
hien2000a

hien2000a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

$tpdtthltvp$ đã đưa ra dạng tổng quát $:$

liên quan j đến chỗ kia hả bạn?


~O)  ~O)  ~O)  CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI :like  :like  :like 


#9
hien2000a

hien2000a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

Bunhia mà bạn, đầu tiên nhân cả tử và mẫu với $a^2+b^2+c^2+d^2$

 

Ta có:$ (a^4+b^4+c^4+d^4)(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)^2$

bạn có thể viết dạng tổng quát ko?


~O)  ~O)  ~O)  CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI :like  :like  :like 


#10
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Thì $4$ biến cũng tương tự thôi : 

 

Dưới đây là hai tổng quát của bài toán:

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 29-05-2016 - 09:46


#11
hien2000a

hien2000a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

Thì $4$ biến cũng tương tự thôi : 

n là các số hạng từ a1 den an à bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hien2000a: 29-05-2016 - 10:05

~O)  ~O)  ~O)  CHÚNG TA KHÔNG THỂ THAY ĐỔI QUÁ KHỨ NHƯNG CÓ THỂ THAY ĐỔI CẢ TƯƠNG LAI :like  :like  :like 


#12
Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

em nghĩ nên dùng schwart sẽ nhanh hơn

$Schwarz$ và $Bunyakovsky$ khác nhau à  :icon6:



#13
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

$Schwarz$ và $Bunyakovsky$ khác nhau à  :icon6:

ý của em là schwart dạng enel


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#14
quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Mình nghĩ là bài này dùng BĐT Cheybeshev cũng đc, mình đã giải bài này ở đây:http://diendantoanho...bcd1-a3b3c3d30/


quangtohe1234567890





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh