Chủ đề này có 1 trả lời

[Love Inequalities]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\frac{16}{\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\frac{16}{\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$$

 

Đầu tiên ta đi CM BĐT : $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq xy+yz+xz(*)$

 

Thật vậy : $(*)\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)^2-(x^4+y^4+z^4)\leq 2(x+y+z)$

 

$\Leftrightarrow (x^4+y^4+z^4)+2(x+y+z)\geq 9$

 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do:

 

$\left\{\begin{matrix} x^4+x+x\geq 3x^2 & & & \\ y^4+y+y\geq 3y^2 & & & \\ z^4+z+z\geq 3z^2 & & & \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế ta có đpcm

 

Khi đó : $P\geq \frac{16}{\sqrt{xy+yz+xz}}+\frac{xy+yz+xz+1}{x+y+z}=\frac{16}{\sqrt{t+1}}+\frac{\dfrac{t^2-1}{3}+1}{t}=\frac{16}{\sqrt{t+1}}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}=f(t)$

 

Với $t=x+y+z$

 

Do $x^2+y^2+z^2\leq (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow \sqrt{3}\leq t\leq 3$

 

Đến đây chỉ cần khảo sát hàm số $f(t)$ là xong