Chủ đề này có 1 trả lời

[Mrnhan]

Cho ma trận vuông $A=(a_{ij})_{n\times n}$ thỏa mãn $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1, \; a_{ij}\geq 0,\; \forall i=\overline{1,n}$. Biết rằng ma trận $A$ có một giá trị riêng là $1$. Chứng minh rằng trị tuyệt đối các giá trị riêng còn lại không lớn hơn $1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 28-05-2016 - 23:46

[WhjteShadow]

Cho ma trận vuông $A=(a_{ij})_{n\times n}$ thỏa mãn $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1, \; a_{ij}\geq 0,\; \forall i=\overline{1,n}$. Biết rằng ma trận $A$ có một giá trị riêng là $1$. Chứng minh rằng trị tuyệt đối các giá trị riêng còn lại không lớn hơn $1$.

Giả sử phản chứng có một giá trị riêng $\lambda$ có trị tuyệt đối >1.

Xét $\alpha$ là một vector riêng (khác 0) ứng với giá trị riêng đó, $\alpha = (\alpha_{1} \, \alpha_{2} \, ... \, \alpha_{n})^{T}$.

Gọi $k$ là chỉ số sao cho $\alpha_{k}=\max \{\alpha_{i} \} $, lúc đấy do $A.\alpha = \lambda \alpha$ nên $$|\alpha_{k}|= \sum^{n}_{j=1}|a_{kj}\alpha_{k}|\geq \sum^{n}_{j=1}|a_{kj}\alpha_{j}|=|\lambda \alpha_{k}|>|\alpha_{k}|$$

Một điều vô lí, vậy điều phản chứng là sai.