Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $

lớp 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện $ a+b \leq 1 $. Chứng minh rằng: $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $



#2
Hannie

Hannie

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện $ a+b \leq 1 $. Chứng minh rằng: $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $

Theo bđt AM-GM, ta có: $2\sqrt{ab}\leq a+b\leq 1=>b\leq \frac{1}{4a}$

Ta có: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq a^{2}-\frac{3}{4a}-4a^{2}=-\left ( 3a^{2}+\frac{3}{4a} \right )=-(3a^{2}+\frac{3}{8a}+\frac{3}{8a})\leq -3\sqrt[3]{3a^{2}.\frac{3}{8a}.\frac{3}{8a}}=-\frac{9}{4}$

Dấu ''='' xảy ra <=> $a=b=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hannie: 29-05-2016 - 17:54

       Mathematics may not teach us how to add love or how to minus hate. But it gives us every reason to hope that every problem has a solution- Sherline Vicky A

                                                                             

 


#3
quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}$ 

                                        => $1\geq 4ab$

                                        => $b$\leq$ \frac{1}{4a}$

Ta có:

$a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq a^{2}-\frac{3}{4a}-4a^{2}= -3(a^{2}+\frac{1}{4a})=-3((a-\frac{1}{2})^{2}+(a+\frac{1}{4a})-\frac{1}{4})\leq \frac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a= b= \frac{1}{2}$


quangtohe1234567890






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 9

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh