Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện $ a+b \leq 1 $. Chứng minh rằng: $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $
Chứng minh $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $
#1
Đã gửi 29-05-2016 - 15:55
#2
Đã gửi 29-05-2016 - 17:53
Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện $ a+b \leq 1 $. Chứng minh rằng: $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $
Theo bđt AM-GM, ta có: $2\sqrt{ab}\leq a+b\leq 1=>b\leq \frac{1}{4a}$
Ta có: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq a^{2}-\frac{3}{4a}-4a^{2}=-\left ( 3a^{2}+\frac{3}{4a} \right )=-(3a^{2}+\frac{3}{8a}+\frac{3}{8a})\leq -3\sqrt[3]{3a^{2}.\frac{3}{8a}.\frac{3}{8a}}=-\frac{9}{4}$
Dấu ''='' xảy ra <=> $a=b=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hannie: 29-05-2016 - 17:54
- supernatural1 yêu thích
Mathematics may not teach us how to add love or how to minus hate. But it gives us every reason to hope that every problem has a solution- Sherline Vicky A
#3
Đã gửi 29-05-2016 - 18:53
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}$
=> $1\geq 4ab$
=> $b$\leq$ \frac{1}{4a}$
Ta có:
$a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq a^{2}-\frac{3}{4a}-4a^{2}= -3(a^{2}+\frac{1}{4a})=-3((a-\frac{1}{2})^{2}+(a+\frac{1}{4a})-\frac{1}{4})\leq \frac{9}{4}$
Dấu "=" xảy ra <=> $a= b= \frac{1}{2}$
quangtohe1234567890
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 9
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 thành phố Đà Nẵng năm học 2022 - 2023Bắt đầu bởi vancongnam, 10-02-2023 học sinh giỏi, đà nẵng và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 Thành phố Đà Nẵng 2021-2022Bắt đầu bởi narutosasukevjppro, 24-02-2022 đề thi, lớp 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $Bắt đầu bởi supernatural1, 22-07-2019 lớp 9, thi vào chuyên và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Giải phương trình $x\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{x-1}=x+1$Bắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 20-04-2019 giải phương trình, lớp 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 18-11-2018 phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh