Chứng minh $(xy+1)(yz+1)(xz+1)$ là số chính phương khi và chỉ khi $xy+1,yz+1,zx+1$ là số chính phương.
$(xy+1)(yz+1)(xz+1)$ là số chính phương.
#1
Đã gửi 29-05-2016 - 20:13
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 29-05-2016 - 20:43
Đây là một bài rất hay nhưng đã rất lâu rồi và đã từng đăng lên tạp chí toán học trong những thập niên 90 .
Lời giải :
Trong các bộ số $(x,y,z)$ thỏa ,ta xét bộ $(x,y,z)$ để mà $x+y+z$ nhỏ nhất $(1)$
Giả sử $z=max\{x,y,z\}$
Gọi $t$ là số thỏa mãn phương trình bậc $2$ :
$t^2+x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zt+tx+zx+ty)-4xyzt-4=0$ $(2)$
$\Leftrightarrow t^2-2t(x+y+z+2xyz)+x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)-4=0$
Phương trình $(2)$ tương đương với $3$ phương trình sau :
$(x+y-z-t)^2=4(xy+1)(zt+1)$
$(x+z-t-y)^2=4(xz+1)(yt+1)$
$(x+t-z-y)^2=4(xt+1)(yz+1)$
Lại có $t$ nguyên do phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm nguyên :
$t_{1,2}=x+y+z +2xyz \pm 2 \sqrt{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}$ nên nhân cả $3$ phương trên theo vế trên ,ta suy ra $(xt+1)(yt+1)(zt+1)$ là số chính phương .
Mặt khác $xt +1,yt+1,zt+1 \ge 0$
Suy ra $t \ge \frac{-1}{max\{x,y,z\}} >-1$ (do $x=y=z=1$ không thỏa)
Nếu $t=0$ thì từ $(2)$ suy ra $(x+y+z)^2=4(xy+yz+zx+1) \Leftrightarrow (x+y-z)^2=4(xy+1) \Rightarrow xy+1$ là số chính phương
Tương tự ta cũng có $yz+1,xz+1$ là số chính phương.
Nếu $t>0$ thì từ $(1)$ suy ra $t \ge z$ với mọi $t$ thỏa $(2)$
Mà $t$ chỉ có thể nhận $2$ giá trị $t_1$ hoặc $t_2$ và :
$t_1.t_2=x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)-4 \le z^2-x(2z-x)-y(2z-y)<z^2$ (mâu thuẫn)
Vậy ta có điều phải chứng minh
- O0NgocDuy0O, CaptainCuong và Hannie thích
#3
Đã gửi 29-05-2016 - 21:17
Đây là một bài rất hay nhưng đã rất lâu rồi và đã từng đăng lên tạp chí toán học trong những thập niên 90 .
Lời giải :
Trong các bộ số $(x,y,z)$ thỏa ,ta xét bộ $(x,y,z)$ để mà $x+y+z$ nhỏ nhất $(1)$
Giả sử $z=max\{x,y,z\}$
Gọi $t$ là số thỏa mãn phương trình bậc $2$ :
$t^2+x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zt+tx+zx+ty)-4xyzt-4=0$ $(2)$
$\Leftrightarrow t^2-2t(x+y+z+2xyz)+x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)-4=0$
Phương trình $(2)$ tương đương với $3$ phương trình sau :
$(x+y-z-t)^2=4(xy+1)(zt+1)$
$(x+z-t-y)^2=4(xz+1)(yt+1)$
$(x+t-z-y)^2=4(xt+1)(yz+1)$
Lại có $t$ nguyên do phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm nguyên :
$t_{1,2}=x+y+z +2xyz \pm 2 \sqrt{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}$ nên nhân cả $3$ phương trên theo vế trên ,ta suy ra $(xt+1)(yt+1)(zt+1)$ là số chính phương .
Mặt khác $xt +1,yt+1,zt+1 \ge 0$
Suy ra $t \ge \frac{-1}{max\{x,y,z\}} >-1$ (do $x=y=z=1$ không thỏa)
Nếu $t=0$ thì từ $(2)$ suy ra $(x+y+z)^2=4(xy+yz+zx+1) \Leftrightarrow (x+y-z)^2=4(xy+1) \Rightarrow xy+1$ là số chính phương
Tương tự ta cũng có $yz+1,xz+1$ là số chính phương.
Nếu $t>0$ thì từ $(1)$ suy ra $t \ge z$ với mọi $t$ thỏa $(2)$
Mà $t$ chỉ có thể nhận $2$ giá trị $t_1$ hoặc $t_2$ và :
$t_1.t_2=x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)-4 \le z^2-x(2z-x)-y(2z-y)<z^2$ (mâu thuẫn)
Vậy ta có điều phải chứng minh
có phải bạn dùng vieta jumping ko
#4
Đã gửi 29-05-2016 - 21:24
#5
Đã gửi 29-05-2016 - 22:04
ko
vậy xin hỏi đó là pp j vậy . bạn học rộng quá
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
-
Google (1)