Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

Cho hình vuông ABCD ,điểm E thuộc CD (E≠C,E≠D), điểm F thuộc BC (F≠B,F≠C) sao cho$\widehat{EAF}= 45$ . Gọi G,I theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, AE. Cmr $BG^2+DI^2=GI^2$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 29-05-2016 - 22:47

[tpdtthltvp]

 

Cho hình vuông ABCD ,điểm E thuộc CD (E≠C,E≠D), điểm F thuộc BC (F≠B,F≠C) sao cho$\widehat{EAF}= 45$ . Gọi G,I theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, AE. Cmr $BG^2+DI^2=GI^2$

 

Lời giải:

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $K$ sao cho $DK=BF$

Ta có: $\Delta KAD=\Delta FAB(g.c.g)\Rightarrow \angle AKD=\angle AFB$

Mặt khác ta có: $\Delta KAE=\Delta FAE(c.g.c)\Rightarrow \angle AKE=\angle AFB$. Do đó,  $\angle AFE=\angle AFB$

Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $EF$, cắt $EF$ tại $H$.

Có: $\Delta AHF=\Delta ABF(ch-gn)\Rightarrow \angle HAF=\angle BAF$ 

Suy ra: $\Delta GAH=\Delta GAB(c.g.c)\Rightarrow GH=GB$ và $\angle GAH=\angle GBA=45^{\circ}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có: $IH=ID$ và $\angle AHI=45^{\circ}$

$\Delta HIG$ có: $\angle IHG=90^{\circ}(=\angle AHI+\angle AHG)$, theo định lý $Pythagore$, ta suy ra: $IG^2=GH^2+IH^2=GB^2+ID^2(\text{đpcm})$