Đến nội dung

Hình ảnh

4 - BĐT: Hàm số một biến

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Tiếp nối các Chuỗi bài toán trước, mình xin được đưa ra đây 3 chuỗi bài toán con, cùng một tư duy tiếp cận, gọi là:
 
"Hàm số một biến"
 
 Mong các thành viên cùng tham gia thảo luận.
 
 :)
 
 
 Các bài toán chính:
 
 Chuỗi 1:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương.
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{2}{\sqrt{x+y+z}}.$


#2
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Chuỗi 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$xy+yz+zx=1.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1).$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Chuỗi 1 chưa?
 
 :)


#3
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Chuỗi 3:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$0< (x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=4^{x}+4^{y}+4^{z}+ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho chuỗi 2 chưa?


#4
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

 

 Chuỗi 1:
 Cho x, y và z là ba số thực dương.
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{2}{\sqrt{x+y+z}}.$

 

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\dfrac{x+4y}{4}+\dfrac{x+4y+16z}{12}=\dfrac{4}{3}(x+y+z)$

 Đặt $\sqrt{x+y+z}=t$ thì $P\geq \dfrac{3}{4t^2}-\dfrac{2}{t}\geq \dfrac{-4}{3}$

 Dấu "=" xảy ra khi $16z=4y=x=\dfrac{3}{7}$

 

 

 

 Chuỗi 2:

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$xy+yz+zx=1.$
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1).$

 

 Giả sử $c=\min \{a,b,c\}$, khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{x^2+y^2}\geq \dfrac{10}{(x+y+z)^2}$

 Lại có $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+1+x+y+z+xy+yz+zx\geq x+y+z+2$

 Đặt $t=x+y+z$ với $t\in [0;\sqrt{3}]$ thì $P\geq \dfrac{10}{t^2}+\dfrac{5(t+2)}{2}\geq \dfrac{35}{2}$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1,c=0$ cùng các hoán vị



#5
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 1 chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 03-06-2016 - 07:13


#6
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\dfrac{x+4y}{4}+\dfrac{x+4y+16z}{12}=\dfrac{4}{3}(x+y+z)$

 

 Bạn có thể nói rõ hơn về việc chọn điểm rơi như trên được không?

 

 :)



#7
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

 

 Bài toán 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$
 
 

 

bài này điểm rơi tại đâu vậy?


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#8
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Giả sử $z=\min \{x,y,z\}$, khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{x^2+y^2}\geq \dfrac{10}{(x+y+z)^2}$

 Lại có $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+1+x+y+z+xy+yz+zx\geq x+y+z+2$

 Đặt $t=x+y+z$ với $t\geq \sqrt{3}$ thì $P\geq \dfrac{10}{t^2}+\dfrac{5(t+2)}{2}\geq \dfrac{25}{2}$

 Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1, z=0$ cùng các hoán vị

 

 Bạn nên xem lại những chỗ bôi đen và có thể giải thích tại sao lại nghĩ đến chỗ màu đỏ và nói rõ hơn được không nhỉ?

 

  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 03-06-2016 - 21:06


#9
mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

 

 Bài toán 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 1 chưa?

 

dự đoán $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$

ta có $x+xy+2xyz=x+xy(1+2z)\leq x+2x(\frac{b+c+\frac{1}{2}}{2})^{2}=x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}$

cần cm $x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}\le \frac{9}{2}$

<=> $(4-a)(2a-3)^{2}\ge 0$

dấu = $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$


Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 


#10
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 3:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương.

 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{6\sqrt{xy}+7z+8\sqrt{zx}}-\frac{1}{9\sqrt{x+y+z}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 2 chưa?


#11
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 4:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương.

 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{8x+3y+4(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt[3]{xyz})}{1+(x+y+z)^{2}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán Chuỗi 3 và 3 chưa?


#12
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Bài toán 5:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương.
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{9}{7x+y+4\sqrt{xy}+18\sqrt[3]{xyz}}+\frac{1}{2}(x+y+z)^{2}+2.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 1 và 4 (Chuỗi 1) chưa?


#13
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 6:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương.

 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{3x+4y+4\sqrt{zx}}+\frac{1}{3x+2y+6\sqrt[3]{xyz}}-\frac{1}{\sqrt{7(x+y+z)}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 2 và 5 chưa?


#14
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 7:

 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 \\ 9xy+17yz+14zx+12z-18> 0 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{8\sqrt{5}(xy+7)}{3\sqrt{9xy+17yz+14zx+12z-18}}+\frac{36}{\sqrt{x+y+z+3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa?
 
 :))


#15
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

 

 Bài toán 6:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương.

 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{3x+4y+4\sqrt{zx}}+\frac{1}{3x+2y+6\sqrt[3]{xyz}}-\frac{1}{\sqrt{7(x+y+z)}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 2 và 5 chưa?

 

Áp dụng BĐT $AM-GM,$ ta có:

$$4\sqrt{xz}\leq x+4z$$

Và:

$$6\sqrt[3]{xyz}\leq x+2y+4z$$

Do đó:

$$P\geq \frac{1}{4(x+y+z)}+\frac{1}{4(x+y+z)}-\frac{1}{\sqrt{7(x+y+z)}}$$

Đặt $\sqrt{x+y+z}=t.$ Tới đấy xét hàm:

$$f(t)=\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{\sqrt{7}t}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 08-06-2016 - 13:00

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#16
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 8:

 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương.
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{4x+2y+4\sqrt{2yz}}-\frac{4}{x+2y+3z+8}+\frac{1}{y+2z+4}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 4 và 7 chưa?


#17
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Các bài toán con cho Chuỗi 2:

 
 Bài toán 1: 
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$xy+yz+zx=1.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+\frac{15}{4}(x+1)(y+1)(z+1).$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 5 và 8 chưa?


#18
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Bài toán 2:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$xy+yz+zx=1.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x^{k}+y^{k}}+\frac{1}{y^{k}+z^{k}}+\frac{1}{z^{k}+x^{k}}+\frac{5k}{4}(x+1)(y+1)(z+1),$
 
 trong đó k là số thực thoả mãn: $3^{k}\geq 2^{k+1}.$
 
 
 P/S: 
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán con 1.6 và 2.1 chưa?


#19
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Bài toán 3:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}min{x,y}>z \\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{8}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+9(x+1)(y+1)(z+1)$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán Chuỗi 3 và 2 Bài toán 1.7 và 2.2 chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 12-06-2016 - 20:27


#20
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Các bài toán con Chuỗi III:
 
 
 Bài toán 1:
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+9ln(x+y+z)+\frac{54}{6+xy+yz+zx}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 3 Bài toán 1.1, 1.8 và 2.3 chưa?





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh