Chủ đề này có 1 trả lời

[NTA1907]

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}\geq \frac{2}{3}\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^{2}$

 

[Thislife]

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}\geq \frac{2}{3}\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^{2}$

Ta có VP $\leq \frac{2}{3} (\sum \frac{a+b}{2})^{2}=\frac{2}{3} (a+b+c)^{2}$ ($AM-GM$)

 

Cần cm $\frac{2}{3} (a+b+c)^{2} \leq VT $

 

Giả sử $a+b+c=3$ thì ta cần cm : $VT \geq 6$

 

Sử dụng :$a^{3}+b^{3} \geq 3ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2} \geq 0 $

 

$$\Rightarrow VT\geq \sum \frac{ab(a+b)}{c} = \sum\frac{3ab-abc}{c} =3\sum \frac{ab}{c} -\sum ab$$

 

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai bộ đơn điệu cùng chiều sau :

 

$$(ab;bc;ac)$$

 

$$(\frac{1}{c};\frac{1}{a};\frac{1}{b})$$

 

Ta được $3\sum \frac{ab}{c} \geq 3(\frac{ab}{b}+\frac{bc}{c}+\frac{ac}{a}) \geq3( a+b+c) = 9$ 

 

Mà từ $a+b+c=3\Rightarrow ab +bc+ac \leq 3 \Rightarrow -(ab+bc+ac) \geq -3 $ 

 

$\Rightarrow$ ĐPCM

P\s: a ơi nếu VT là $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}}$  thì bđt không đúng với mọi a,b,c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 31-05-2016 - 07:17