Chủ đề này có 2 trả lời

[volehoangdck269]

Tìm max của M=$x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x - xyz$ 
Với x;y;z là các số k âm và $\sum x^{2}=3$ 

[superpower]

Tìm max của M=$x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x - xyz$ 
Với x;y;z là các số k âm và $\sum x^{2}=3$ 

Ta chứng minh $x^2y+y^2z+z^2x -xyz \geq \frac{4}{27} (x+y+z)^3 $

Rồi từ đó dùng AM-GM đánh giá qua $\sum x^2=3 $

Lưu ý dấu bắng xảy ra khi $z=0; x=3y$ và các hoán vị

[cristianoronaldo]

Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử y là số nằm giữa x,z.

Từ đó ta suy ra:$(y-x)(y-z)\leq 0$

Theo bài ra ta có: M=$x^2y+y^2z+z^2x-xyz=(y^2z-yz^2+xz^2-xyz)+x^2y+yz^2=z(y-x)(y-z)+y(x^2+y^2)$

                                $\leq y(x^2+z^2)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$M\leq \sqrt{y^2.(x^2+z^2)^2}= 2.\sqrt{y^2.\frac{x^2+z^2}{2}.\frac{x^2+z^2}{2}}$

                                            $\leq 2.\sqrt{(\frac{y^2+\frac{x^2+z^2}{2}+\frac{x^2+z^2}{2}}{3})^3}$

                                             =$2.\sqrt{(\frac{x^2+y^2+z^2}{3})^3}=2$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 hoặc x=$\sqrt{2}$, y=1, z=0 và các hoán vị

Vậy max của M là 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 31-05-2016 - 07:59