1 reply to this topic

[leanhthu]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\geq a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}$

 

 

Edited by phamngochung9a, 31-05-2016 - 12:23.

[takarin1512]

Bài này ta quy về chứng minh dạng tổng quát:

$\sum \frac{a^{n+1}}{b+c-a}\geq \sum a^n\left ( n\geq 1 \right )$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c> 0$

Ta có: $\frac{a}{b+c-a}\geq \frac{b}{c+a-b}\geq \frac{c}{a+b-c}$

Áp dụng bất đăng thức Chbyshev ta có:

$\sum \frac{a^{n+1}}{b+c-a}=\sum a^n.\frac{a}{b+c-a}\geq \frac{1}{3}\sum a^n.\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum a^n$(do $\sum \frac{a}{b+c-a}\geq 3$)