Chủ đề này có 4 trả lời

[the unknown]

Bài toán: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $2017\mid n^2+1$.

Spoiler

Một trường hợp nhỏ của một bài toán hay   

[Chris yang]

Bài toán: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $2017\mid n^2+1$.

Spoiler

Một trường hợp nhỏ của một bài toán hay   

Hiển nhiên $2017$ là số nguyên tố dạng $4k+1$. Mà luôn có $\left ( \frac{-1}{p} \right )=1$ với $p=4k+1\in\mathbb{P}$ nên $\left ( \frac{-1}{2017} \right )=1$

Do đó luôn tồn tại $n\in\mathbb{N}$ sao cho $n^2\equiv -1\pmod {2017}$ hay $2017|n^2+1$

[Nam Duong]

Hiển nhiên $2017$ là số nguyên tố dạng $4k+1$. Mà luôn có $\left ( \frac{-1}{p} \right )=1$ với $p=4k+1\in\mathbb{P}$ nên $\left ( \frac{-1}{2017} \right )=1$

Do đó luôn tồn tại $n\in\mathbb{N}$ sao cho $n^2\equiv -1\pmod {2017}$ hay $2017|n^2+1$

cho em hỏi cái này nghĩa là gì 

[Chris yang]

cho em hỏi cái này nghĩa là gì 

Cái ni là kí hiệu số chính phương mod $p$ Tài liệu muốn tham khảo em có thể lên gg tìm "số chính phương mod $p$ có rất nhiều. Với công cụ này giải những bài toán như vậy sẽ đơn giản hơn nhiều! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 31-05-2016 - 13:50

[the unknown]

Hiển nhiên $2017$ là số nguyên tố dạng $4k+1$. Mà luôn có $\left ( \frac{-1}{p} \right )=1$ với $p=4k+1\in\mathbb{P}$ nên $\left ( \frac{-1}{2017} \right )=1$

Do đó luôn tồn tại $n\in\mathbb{N}$ sao cho $n^2\equiv -1\pmod {2017}$ hay $2017|n^2+1$

Em rất thích sử dụng scp mod p trong giải toán, tuy nhiên bài này giải cũng có thể giải bằng cách sử dụng nhiều kiến thức THCS, em xin được đề xuất một cách làm khác. Ta có một bổ đề như sau:

Định lý Wilson

Với $p$ là một số nguyên tố thì $p\mid (p-1)!+1$ (đây là một bổ đề thông dụng, các bạn có thể tham khảo trên mạng)

Đặt $p=4k+1$, do đó theo định lí Wilson thì $p\mid (4k)!+1$. Do đó ta có: $(4k)!+1\equiv 1.2.3...(4n-1).4n+1\equiv 1.2.3...2n.(-2n)(-2n-1)...(-2)(-1)+1= (-1)^{2n}.(2n)!^2+1=(2n)!^2+1\equiv 0 $ $(mod$ $p)$.

Như vậy số $(2n)!$ là một số thỏa $p\mid n^2+1$, do đó ta có điều phải chứng minh.

Với $p=2017$ ta có bài toán trên.