Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$
Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$
#1
Đã gửi 31-05-2016 - 10:18
#2
Đã gửi 31-05-2016 - 12:11
Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$
Nhận thấy: $14322=2.3.7.11.31$
Dễ thấy các thừa số này đổi một nguyên tố cùng nhau nên ta sẽ chứng minh $mn(m^{30}-n^{30})$ chia hết cho từng thừa số.
Xét các TH:
- TH1: Nếu một trong $2$ số $m,n$ chia hết cho các số đó, ta có đpcm.
- TH2: Nếu $m,n$ không có số nào chia hết cho $2,3,7,11,31$, ta sẽ chứng minh $m^{30}-n^{30}\vdots 2,3,7,11,31.$
Thật vậy, do $2,3,7,11,31$ là các số nguyên tố nên nguyên tố cùng nhau với $m,n$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có:
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m-n\vdots 2(1)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^2-n^2\vdots 3(2)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^6-n^6\vdots 7(3)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^{10}-n^{10}\vdots 11(4)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots 31(5)$
Từ $(1),(2),(3),(4),(5)$ ta có $\text{đpcm}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 31-05-2016 - 12:11
- Minh Hieu Hoang yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 31-05-2016 - 12:38
Nhận thấy: $14322=2.3.7.11.31$
Dễ thấy các thừa số này đổi một nguyên tố cùng nhau nên ta sẽ chứng minh $mn(m^{30}-n^{30})$ chia hết cho từng thừa số.
Xét các TH:
- TH1: Nếu một trong $2$ số $m,n$ chia hết cho các số đó, ta có đpcm.
- TH2: Nếu $m,n$ không có số nào chia hết cho $2,3,7,11,31$, ta sẽ chứng minh $m^{30}-n^{30}\vdots 2,3,7,11,31.$
Thật vậy, do $2,3,7,11,31$ là các số nguyên tố nên nguyên tố cùng nhau với $m,n$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có:
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m-n\vdots 2(1)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^2-n^2\vdots 3(2)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^6-n^6\vdots 7(3)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^{10}-n^{10}\vdots 11(4)$
$\ast m^{30}-n^{30}\vdots 31(5)$
Từ $(1),(2),(3),(4),(5)$ ta có $\text{đpcm}$.
Áp dụng Fermat nhỏ như thế nào hả bạn?
#4
Đã gửi 31-05-2016 - 12:46
Áp dụng Fermat nhỏ như thế nào hả bạn?
Áp dụng vào ta được:
$m\equiv n\equiv 1(\mod 2)$
$m^2\equiv n^2\equiv 1(\mod 3)$
$\cdots$
$m^{30}\equiv n^{30}\equiv 1(\mod 31)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 31-05-2016 - 12:46
- ngochapid yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh