Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
leanhthu

leanhthu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$



#2
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Chứng minh rằng $mn(m^{30}-n^{30})\vdots 14322$

Nhận thấy: $14322=2.3.7.11.31$

Dễ thấy các thừa số này đổi một nguyên tố cùng nhau nên ta sẽ chứng minh $mn(m^{30}-n^{30})$ chia hết cho từng thừa số.

Xét các TH:

  • TH1: Nếu một trong $2$ số $m,n$ chia hết cho các số đó, ta có đpcm.
  • TH2: Nếu $m,n$ không có số nào chia hết cho $2,3,7,11,31$, ta sẽ chứng minh $m^{30}-n^{30}\vdots 2,3,7,11,31.$

Thật vậy, do $2,3,7,11,31$ là các số nguyên tố nên nguyên tố cùng nhau với $m,n$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có:

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m-n\vdots 2(1)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^2-n^2\vdots 3(2)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^6-n^6\vdots 7(3)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^{10}-n^{10}\vdots 11(4)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots 31(5)$

Từ $(1),(2),(3),(4),(5)$ ta có $\text{đpcm}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 31-05-2016 - 12:11

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#3
ngochapid

ngochapid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Nhận thấy: $14322=2.3.7.11.31$

Dễ thấy các thừa số này đổi một nguyên tố cùng nhau nên ta sẽ chứng minh $mn(m^{30}-n^{30})$ chia hết cho từng thừa số.

Xét các TH:

  • TH1: Nếu một trong $2$ số $m,n$ chia hết cho các số đó, ta có đpcm.
  • TH2: Nếu $m,n$ không có số nào chia hết cho $2,3,7,11,31$, ta sẽ chứng minh $m^{30}-n^{30}\vdots 2,3,7,11,31.$

Thật vậy, do $2,3,7,11,31$ là các số nguyên tố nên nguyên tố cùng nhau với $m,n$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có:

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m-n\vdots 2(1)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^2-n^2\vdots 3(2)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^6-n^6\vdots 7(3)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots m^{10}-n^{10}\vdots 11(4)$

$\ast m^{30}-n^{30}\vdots 31(5)$

Từ $(1),(2),(3),(4),(5)$ ta có $\text{đpcm}$.

Áp dụng Fermat nhỏ như thế nào hả bạn?



#4
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Áp dụng Fermat nhỏ như thế nào hả bạn?

Định lý Fermat nhỏ

Áp dụng vào ta được:

$m\equiv n\equiv 1(\mod 2)$

$m^2\equiv n^2\equiv 1(\mod 3)$

$\cdots$

$m^{30}\equiv n^{30}\equiv 1(\mod 31)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 31-05-2016 - 12:46

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh