Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum \frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
minh hai nguyen

minh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Chứng minh rằng: $\frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{5}-2b^{3}+b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{5}-2c^{3}+c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:27


#2
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Chứng minh rằng: $\frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{5}-2b^{3}+b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{5}-2c^{3}+c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

ta có $\sum \frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(1-a^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum a(1-a^{2})$

mà$9a^{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\geq 9a$ (theo AM -GM) nên suy ra $a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

tương tự $b(1-b^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

               $c(1-c^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

suy ra$\sum a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$ ĐPCM


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#3
Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

ta có $\sum \frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(1-a^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum a(1-a^{2})$

mà$9a^{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\geq 9a$ (theo AM -GM) nên suy ra $a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

tương tự $b(1-b^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

               $c(1-c^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

suy ra$\sum a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$ ĐPCM

cách khác

$\sum a-\sum a^3 \le \sqrt{3(\sum a^2)}-\frac{1}{\sqrt{(\sum a)}} \le \frac{2\sqrt{3}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 31-05-2016 - 12:00


#4
minh hai nguyen

minh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

cách khác

$\sum a-\sum a^3 \le \sqrt{3(\sum a^2)}-\frac{1}{\sqrt{(\sum a)}} \le \frac{2\sqrt{3}}{3}$

cách này hay đấy






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh