Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
Chứng minh rằng: $\frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{5}-2b^{3}+b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{5}-2c^{3}+c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$
ta có $\sum \frac{a^{5}-2a^{3}+a}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(1-a^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{a(b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}+c^{2}}= \sum a(1-a^{2})$
mà$9a^{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\geq 9a$ (theo AM -GM) nên suy ra $a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$
tương tự $b(1-b^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$
$c(1-c^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$
suy ra$\sum a(1-a^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$ ĐPCM