cho a,b,c>=0 ;$a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Gia Linh: 31-05-2016 - 21:20
cho $a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Ta sử dụng bổ đề sau:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}(1)$$
Áp dụng $(1)$, ta được:
$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+2b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{b+1}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+b+c+1}=\sqrt{2}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=-1$ và các hoán vị.
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Ta sử dụng bổ đề sau:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}(1)$$
Chứng minhÁp dụng $(1)$, ta được:
$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+2b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{b+1}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+b+c+1}=\sqrt{2}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=-1$ và các hoán vị.
Nếu thêm điều kiện $a,b,c \geq 0$ thì minA =2 , chứng minh bằng cách gần tương tự
sorry m.n nha,mình ghi thiếu đề
sorry m.n nha,mình ghi thiếu đề
cho a,b,c>=0 ;$a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Vậy mình xin chứng minh luôn :
Ta có :$ A^{2} = 2(a+b+c) +2\sum \sqrt{(a+b)(b+c)} =2 +2\sum \sqrt{b^2+ac+bc+ac}$
Sử dụng: $\sqrt{x_1^2 +y_2^2} +\sqrt{x_2^2 +y_2^2} +\sqrt{x_3^2 +y_3^2} \geq \sqrt{(x_1+x_2+x_3)^2+(y_1+y_2+y_3)^2} $
$\Rightarrow A^2 \geq 2+ 2\sqrt{(a+b+c)^2 +(3\sqrt{ab+bc+ac})^2} \geq 2+ 2\sqrt{(a+b+c)^2} =4$
$$\Rightarrow A\geq 2$$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0) $ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 31-05-2016 - 22:08
Ta có:$A^{2}=2(a+b+c)+\sum 2\sqrt{(a+b)(a+c)}$
$\geq 2+2\sum a =4$
$\Rightarrow A\geq 2$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=1;b=c=0$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-06-2016 - 20:50
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh