Chủ đề này có 5 trả lời

[Tran Gia Linh]

cho a,b,c>=0 ;$a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Gia Linh: 31-05-2016 - 21:20

[tpdtthltvp]

cho $a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Ta sử dụng bổ đề sau:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}(1)$$

Chứng minh

 $(1)\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0, \text{luôn đúng}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=0$ hoắc $b=0$ hoặc $a=b=0$

Áp dụng $(1)$, ta được:

$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+2b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{b+1}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+b+c+1}=\sqrt{2}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=-1$ và các hoán vị.

[Thislife]

Ta sử dụng bổ đề sau:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}(1)$$

Chứng minh

 $(1)\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0, \text{luôn đúng}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=0$ hoắc $b=0$ hoặc $a=b=0$

Áp dụng $(1)$, ta được:

$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+2b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{b+1}+\sqrt{c+a}\geq \sqrt{a+b+c+1}=\sqrt{2}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=-1$ và các hoán vị.

Nếu thêm điều kiện $a,b,c \geq 0$ thì minA =2 , chứng minh bằng cách gần tương tự

[Tran Gia Linh]

sorry m.n nha,mình ghi thiếu đề

[Thislife]

sorry m.n nha,mình ghi thiếu đề

cho a,b,c>=0 ;$a+b+c=1$ tìm GTNN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Vậy mình xin chứng minh luôn  :

Ta có :$ A^{2} = 2(a+b+c) +2\sum \sqrt{(a+b)(b+c)} =2 +2\sum \sqrt{b^2+ac+bc+ac}$ 

Sử dụng: $\sqrt{x_1^2 +y_2^2} +\sqrt{x_2^2 +y_2^2} +\sqrt{x_3^2 +y_3^2} \geq \sqrt{(x_1+x_2+x_3)^2+(y_1+y_2+y_3)^2} $

$\Rightarrow A^2 \geq 2+ 2\sqrt{(a+b+c)^2 +(3\sqrt{ab+bc+ac})^2} \geq 2+ 2\sqrt{(a+b+c)^2} =4$

$$\Rightarrow A\geq 2$$ 

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0) $ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 31-05-2016 - 22:08

[kienvuhoang]

Ta có:$A^{2}=2(a+b+c)+\sum 2\sqrt{(a+b)(a+c)}$

$\geq 2+2\sum a =4$

$\Rightarrow A\geq 2$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=1;b=c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-06-2016 - 20:50