Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa mãn:  $2a^2+ab+2b^2=2c^2+cd+2d^2$.

Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Thanh Truong: 31-05-2016 - 23:02

[Ngoc Hung]

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa mãn:  $2a^2+ab+2b^2=2c^2+cd+2d^2$.

Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số.

 

Ta có $2a^2+ab+2b^2=2c^2+cd+2d^2\Leftrightarrow 2(a+b)^{2}-3ab=2(c+d)^{2}-3cd\Leftrightarrow 2(a+b+c+d)(a+b-c-d)=3(ab-cd)$

Vì a, b, c, d nguyên dương nên a + b + c + d > 3.

Do đó $(ab-cd)\vdots (a+b+c+d)\Rightarrow a(a+b+c+d)-(ab-cd)\vdots (a+b+c+d)\Leftrightarrow (a+b)(c+d)\vdots (a+b+c+d)$

Nếu a + b + c + d là số nguyên tố lớn hơn 3 thì một trong hai số (a + b) hoặc (b + c) phải chia hết cho (a + b + c + d), vô lí

Vậy a + b + c + d là hợp số