Chủ đề này có 2 trả lời

[manh nguyen truc]

cho a,b,c thực dương sao cho $a+b+c=3$ Chứng minh:

$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}} \geq 1$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-06-2016 - 00:31

[leminhnghiatt]

cho a,b,c thực dương sao cho a+b+c=3 c/m:

$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}}\geq 1$  

 

Ta có: $\sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}}= \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+2(a+b+c)c-c^2}}$

 

$=\sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(2a+c)(2b+c)}} \geq \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{a+b+c}=\dfrac{\sum a\sqrt{a}}{3}$

 

Ta có: $a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+1 \geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a$

 

$\rightarrow 2 \sum a\sqrt{a} \geq 3\sum a-3=6$

 

$\rightarrow a\sqrt{a} \geq 3$

 

$\rightarrow \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}} \geq \dfrac{\sum a\sqrt{a}}{3} \geq \dfrac{3}{3}=1 \rightarrow$ đpcm

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 01-06-2016 - 00:16

[royal1534]

cho a,b,c thực dương sao cho $a+b+c=3$ Chứng minh:

$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}} \geq 1$   

Đề này trong đề thi thử lớp 10 của thầy Võ Quốc Bá Cẩn

Có thể làm phần đầu cách khác:

--------------

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$4ab+6c-c^2 \leq (a+b)^2+6c-c^2=(3-c)^2+6c-c^2=9$

$\Rightarrow VT=\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}} \geq \sum \frac{a\sqrt{a}}{3}$

Sau đó có thể làm tiếp tục như cách giải trên.